KSIĘGA XII: definicje twierdzenia

Księga XI - Definicje:
Definicja 1.
Bryła to figura, która ma długość, szerokość i głębokość.
WYJAŚNIENIE
Definicja 2.
Bryłę ograniczają płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Definicja 3.
Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy tworzy kąty proste z wszystkimi prostymi, które ja przecinają i leżą w danej płaszczyźnie.
WYJAŚNIENIE
Definicja 4.
Płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny, gdy proste poprowadzone w jednej z nich prostopadle do przecięcia płaszczyzn, są prostopadłe do drugiej płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Definicja 5.
Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny, to kąt między daną prostą a prostą, która łączy punkt przecięcia danej prostej z płaszczyzną i punkt, który jest przecięciem płaszczyzny i prostej poprowadzonej prostopadle do płaszczyzny przez dowolny punkt należący do danej prostej.
WYJAŚNIENIE
Definicja 6.
Mówimy, że nachylenie płaszczyzn jest podobne do nachylenia innych płaszczyzn, gdy ich kąty nachylenia są sobie równe.
WYJAŚNIENIE
Definicja 7.
Mówimy, że nachylenie płaszczyzn jest podobne do nachylenia innych płaszczyzn, gdy ich kąty nachylenia są sobie równe.
WYJAŚNIENIE
Definicja 8.
Płaszczyzny równoległe to takie, które się nie przecinają.
WYJAŚNIENIE
Definicja 9.
Bryły podobne to takie, które są ograniczone taką samą ilością podobnych płaszczyzn.
WYJAŚNIENIE
Definicja 10.
Bryły równe i podobne to takie, które ograniczone są taką samą ilością płaszczyzn podobnych i równych co do wielkości.
WYJAŚNIENIE
Definicja 11.
Kąt wielościenny jest nachyleniem utworzonym przez więcej niż dwie linie, które się przecinają i nie leżą na tej samej powierzchni, do wszystkich linii, tzn. kąt wielościenny to taki, który jest ograniczony przez więcej niż dwa kąty płaskie, które nie leżą w jednej płaszczyźnie i mają wspólny wierzchołek.
WYJAŚNIENIE
Definicja 12.
Ostrosłup jest bryłą ograniczoną przez płaszczyzny, które są poprowadzone z jednej płaszczyzny do jednego punktu.
WYJAŚNIENIE
Definicja 13.
Graniastosłup trójkątny jest bryłą ograniczoną przez płaszczyzny, z których dwie, tzn. te przeciwległe, są równe i podobne (przystające) oraz równoległe, podczas gdy pozostałe są równoległobokami.
WYJAŚNIENIE
Definicja 14.
Gdy półkole o stałej średnicy obrócimy aż powrócimy do tej samej pozycji, z której zaczęliśmy go obracać, to otrzymaną figurę przyjmujemy jako kulę.
WYJAŚNIENIE
Definicja 15.
Osią kuli jest prosta, która pozostaje stała i, wokół której obracamy półkole.
WYJAŚNIENIE
Definicja 16.
Środkiem kuli jest środek półkola
WYJAŚNIENIE
Definicja 17.
Średnicą kuli jest dowolny odcinek poprowadzony przez środek i ograniczony po obu stronach przez powierzchnię kuli.
WYJAŚNIENIE
Definicja 18.
Jeśli trójkąt prostokątny o stałej jednej z przyprostokątnych obrócimy aż do powrotu do pozycji, z której zaczęliśmy obracać, to otrzymaną figurę nazywamy stożkiem. I, jeśli bok, który pozostał stały, jest równy drugiej przyprostokątnej - tej obracanej, to stożek jest prostokątny; jeśli mniejszy, to rozwartokątny; a jeśli większy, to ostrokątny.
WYJAŚNIENIE
Definicja 19.
Osią stożka jest prosta, która zawiera stały bok, wokół którego obracaliśmy trójkąt.
WYJAŚNIENIE
Definicja 20.
Podstawą jest koło otrzymane przez bok, który był obracany.
WYJAŚNIENIE
Definicja 21.
Jeśli prostokątny równoległobok o jednym stałym boku obrócimy aż powrócimy do pozycji, z której zaczęliśmy go obracać, to otrzymana figura jest walcem.
WYJAŚNIENIE
Definicja 22.
Osią walca jest prosta zawierająca stały bok, wokół którego obracaliśmy równoległobok (prostokat).
WYJAŚNIENIE
Definicja 23.
Podstawami są koła zakreślone przez dwa przeciwległe boki, które były obracane.
WYJAŚNIENIE
Definicja 24.
Podobne stożki i walce to takie, w których osie i średnice podstaw są proporcjonalne.
WYJAŚNIENIE
Definicja 25.
Sześcian jest bryłą ograniczoną przez sześć równych kwadratów.
WYJAŚNIENIE
Definicja 26.
Ośmiościan jest bryłą ograniczoną przez osiem równych trójkątów równobocznych.
WYJAŚNIENIE
Definicja 27.
Dwudziestościan jest bryłą ograniczoną przez dwadzieścia równych trójkątów równobocznych.
WYJAŚNIENIE
Definicja 28.
Dwunastościan jest bryłą ograniczoną przez dwanaście równych pięciokątów równobocznych i równokątnych (foremnych).
WYJAŚNIENIE

Księga XI - Twierdzenia:
Twierdzenie 1.
Część prostej nie może leżeć w płaszczyźnie odniesienia, a część w płaszczyźnie nachylonej do niej pod pewnym kątem.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 2.
Jeśli dwie proste przecinają się, to leżą one w jednej płaszczyźnie; i każdy trójkąt leży w jednej płaszczyźnie.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 3.
Jeśli dwie płaszczyzny przecinają się, to ich przecięciem jest linia prosta.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 4.
Jeśli prosta jest do dwóch prostych przecinających się prostopadła w punkcie ich przecięcia, to jest prostopadła do płaszczyzny na nich rozpiętej.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 5.
Jeśli prosta jest prostopadła do trzech przecinających się prostych w ich punkcie przecięcia, to proste te leżą w jednej płaszczyźnie.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 6.
Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są one równoległe względem siebie.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 7.
Jeżeli dwie proste są równoległe i obierzemy dowolne punkty na każdej z tych prostych, to prosta łącząca te punkty leży w tej samej płaszczyźnie co dane proste równoległe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 8.
Jeżeli dwie proste są równoległe i jedna z nich jest prostopadła do pewnej płaszczyzny, to pozostała prosta jest również prostopadła do tej samej płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 9.
Proste, które są równoległe do tej samej prostej, ale nie leżą z nią w jednej płaszczyźnie, są do siebie równoległe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 10.
Jeżeli dwie przecinające się proste są równoległe do dwóch przecinających się, leżących w innej płaszczyźnie, prostych, to tworzą one równe kąty.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 11.
Poprowadzić prostą prostopadłą do danej płaszczyzny z danego, nie leżącego na niej, punktu.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 12.
Z danego punktu na płaszczyźnie wyprowadzić prostą prostopadłą do tej płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 13.
Z jednego punktu nie można poprowadzić dwóch różnych prostych prostopadłych do tej samej płaszczyzny po tej samej stronie.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 14.
Płaszczyzny, do których ta sama prosta jest prostopadła, są równoległe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 15.
Jeśli dwie przecinające się proste są równoległe do dwóch prostych przecinających się w innej płaszczyźnie, to płaszczyzny na nich rozpięte są równoległe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 16.
Jeśli dwie płaszczyzny równoległe przecina dowolna płaszczyzna, to ich przecięcia są równoległe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 17.
Jeśli dwie proste przecięte są płaszczyznami równoległymi, to dzielą się one w tym samym stosunku.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 18.
Jeśli prosta jest prostopadła do dowolnej płaszczyzny, to wszystkie płaszczyzny, które ją zawierają są także prostopadłe do tej płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 19.
Jeśli dwie płaszczyzny, które się przecinają są prostopadłe do dowolnej płaszczyzny, to ich przecięcie jest również prostopadłe do tej samej płaszczyzny.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 20.
Jeśli kąt trójścienny jest zawarty między trzema kątami płaskimi, to suma dowolnych dwóch z nich jest większa niż pozostały.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 21.
Każdy kąt trójścienny jest zawarty między kątami płaskimi, których suma jest mniejsza od czterech kątów prostych.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 22.
Jeśli dane są trzy kąty płaskie takie, że suma dowolnych dwóch jest większa niż pozostały, i zawarte są one między równymi odcinkami, to można skonstruować trójkąt z trzech odcinków łączących końce ramion tych kątów.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 23.
Skonstruować kąt trójścienny z trzech kątów płaskich, dla których suma dwóch z nich jest większa niż trzeci, tak, aby suma wszystkich trzech kątów była mniejsza od czterech kątów prostych.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 24.
Jeśli bryła jest zawarta między równoległymi płaszczyznami, to przeciwległe ściany są sobie równe i równoległoboczne.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 25.
Jeżeli równoległościan przetniemy płaszczyzną równoległą do przeciwległych ścian, to stosunek otrzymanych brył będzie taki jak stosunek ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 26.
Skonstruować kąt trójścienny równy danemu kątowi trójściennemu przy danym punkcie na prostej.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 27.
Na danej prostej wykreślić równoległościan jednakowo położony i podobny do danego.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 28.
Jeśli równoległościan przecięty jest płaszczyzną poprowadzoną przez przekątne ścian przeciwległych, to jest przez nią podzielony na dwie równe części.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 29.
Równoległościany o tej samej podstawie i wysokości, i których końce krawędzi bocznych leżą na tych samych prostych, są równe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 30.
Równoległościany, które mają tę samą podstawę i wysokość i, których końce krawędzi bocznych nie leżą na tych samych prostych, są równe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 31.
Równoległościany, które mają jednakowe podstawy i taką samą wysokość, są sobie równe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 32.
Stosunek równoległościanów, które mają taką samą wysokość jest taki sam, jak stosunek ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 33.
Stosunek równoległościanów podobnych jest sześcianem stosunku ich odpowiednich krawędzi.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 34.
W równych równoległościanach podstawy są wzajemnie proporcjonalne do wysokości; a równoległościany, w których podstawy są wzajemnie proporcjonalne do wysokości, są równe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 35.
Jeżeli dane są dwa równe kąty płaskie, i przez ich wierzchołki poprowadzimy proste nachylone do ich płaszczyzny pod pewnym kątem, tworzące równe kąty z ramionami danych kątów, odpowiednio, jeśli na tych prostych obierzemy dowolnie punkty i zrzutujemy je prostopadle do płaszczyzn, w których leżą dane kąty płaskie, i jeżeli przez otrzymane rzuty punktów na płaszczyźnie poprowadzimy proste do wierzchołków danych kątów, to proste te utworzą z prostymi nachylonymi do płaszczyzny kątów równe kąty.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 36.
Jeśli trzy odcinki są proporcjonalne, to równoległościan utworzony z tych trzech odcinków równy jest równoległościanowi utworzonemu ze średniego z nich, ma on wszystkie ściany równoboczne, ale kąty ma równe kątom wyżej wspomnianego równoległościanu.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 37.
Jeśli cztery odcinki są proporcjonalne, to równoległościany utworzone na nich podobne i podobnie wykreślone są także proporcjonalne; oraz, jeśli równoległościany są podobne i podobnie wykreślone na czterech odcinkach, to odcinki te są również proporcjonalne.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 38.
Jeśli boki przeciwległych ścian sześcianu przetniemy na dwie równe części i przez punkty przecięcia poprowadzimy płaszczyzny, to przecięcie tych płaszczyzn i przekątna sześcianu przetną się wzajemnie na dwie równe części.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 39.
Jeśli dane są dwa graniastosłupy o równych wysokościach i jeden ma w podstawie trójkąt, a drugi równoległobok oraz jeśli równoległobok jest dwa razy większy od trójkąta (jest jego dwukrotnością), to graniastosłupy te są równe.
WYJAŚNIENIE