KSIĘGA XII: twierdzenia
Księga XII - Twierdzenia:

Twierdzenie 1
Stosunek pól wielokątów podobnych wpisanych w koło jest równy stosunkowi kwadratów średnic tych kół.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 2
Stosunek pól kół jest równy stosunkowi kwadratów długości ich średnic.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 3
Każdy ostrosłup trójkątny można podzielić na dwa równe ostrosłupy trójkątne podobne do danego i na dwa równe graniastosłupy większe niż połowa danego ostrosłupa.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 4
Dane są dwa ostrosłupy trójkątne o takiej samej wysokości i każdy z nich został podzielony na dwa równe ostrosłupy, podobne do całego ostrosłupa oraz na dwa równe graniastosłupy. Podział taki dokonywany jest wielokrotnie. Wtedy stosunek pola podstawy jednego ostrosłupa do pola podstawy drugiego ostrosłupa jest równy stosunkowi graniastosłupów w jednym ostrosłupie do odpowiednich graniastosłupów w drugim ostrosłupie.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 5
Stosunek objętości ostrosłupów trójkątnych o takich samych wysokościach jest równy stosunkowi pól ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 6
Stosunek objętości ostrosłupów o jednakowych wysokościach a podstawach będących dowolnym wielokątem jest równy stosunkowi pól ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 7
Każdy graniastosłup trójkątny można podzielić na trzy ostrosłupy trójkątne równej objętości.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 8
Stosunek objętości ostrosłupów trójkątnych podobnych jest równy sześcianowi stosunku ich odpowiednich krawędzi.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 9
W ostrosłupach trójkątnych o jednakowych objętościach pola podstaw są odwrotnie proporcjonalne do wysokości. Jeżeli ostrosłupy trójkątne mają podstawy odwrotnie proporcjonalne do wysokości, to ich objętości są równe.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 10
Objętość stożka jest jedną trzecią objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 11
Stosunek objętości stożka i walca o takiej samej wysokości jest równy stosunków pól ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 12
Stosunek stożków (walców) podobnych jest równy sześcianowi stosunku średnic ich podstaw.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 13
Jeżeli poprowadzimy płaszczyznę równoległą do podstaw walca, to otrzymane dwa walce są do siebie w takim stosunku jak ich wysokości.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 14
Stosunek objętości walców (stożków) o jednakowych podstawach jest równy stosunkowi ich wysokości.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 15
Jeżeli walce lub stożki mają równe objętości to ich wysokości są odwrotnie proporcjonalne do pól podstaw; a jeśli pola podstaw walców (stożków) są odwrotnie proporcjonalne do wysokości, to te walce (stożki) mają jednakowe objętości.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 16
Mając dane dwa koła współśrodkowe należy wpisać w większe koło wielokąt foremny o parzystej liczbie boków tak, aby nie miał on punktów wspólnych z mniejszym kołem.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 17
Dane są dwie kule współśrodkowe. Należy wpisać wielościan w większą kulę tak, aby nie miał on punktów wspólnych z mniejszą kulą.
WYJAŚNIENIE
Twierdzenie 18
Stosunek objętości dwóch kul jest równy stosunkowi sześcianów ich średnic.
WYJAŚNIENIE