HOME WSTĘP KSIĘGI FOTO HISTORIA AUTORZY MAPA
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII

KSIĘGA V: definicje twierdzenia

Księga V - Definicje:
Definicja 1.
Wielkość jest częścią innej wielkości, mniejsza większej, jeśli mniejsza mierzy większą.
Definicja 2.
Większa wielkość jest wielokrotnością mniejszej wielkości, jeśli mniejsza mierzy większą.
Definicja 3.
Stosunek to rodzaj zależności pomiędzy dwiema wielkościami tego samego typu.
Definicja 4.
Mówi się, że wielkości są w stosunku między sobą, jeśli jedna z nich zwielokrotniona, może przewyższyć drugą.
Definicja 5.
Mówi się, że wielkości są w tym samym stosunku, pierwsza do drugiej i trzecia do czwartej, jeśli wziąwszy równe wielokrotności pierwszej i trzeciej oraz równe wielokrotności drugiej i czwartej, otrzymujemy zależność: gdy wielokrotność pierwszej wielkości jest większa, równa lub mniejsza od wielokrotności trzeciej wielkości, to zależność pomiędzy wielokrotnością drugiej i wielokrotnością czwartej jest taka sama.
Definicja 6.
Wielkości, które są w tym samym stosunku, nazywamy proporcjonalnymi.
Definicja 7.
Jeśli, z równych wielokrotności, wielokrotność pierwszej przewyższa wielokrotność drugiej, ale wielokrotność trzeciej nie przewyższa wielokrotności czwartej, to mówi się, że pierwsza do drugiej jest w większym stosunku niż trzecia do czwartej.
Definicja 8.
Proporcja składa się najmniej z trzech wyrazów.
Definicja 9.
Jeśli trzy wielkości są proporcjonalne, to mówi się, że pierwsza wielkość do trzeciej jest w stosunku podwójnym do stosunku pierwszej i drugiej.
Definicja 10.
Jeśli cztery wielkości są ciągło proporcjonalne, to mówi się, że pierwsza wielkość do czwartej jest w potrójnym stosunku do stosunku pierwszej i drugiej, i tak dalej, ilekolwiek byłoby wielkości proporcjonalnych.
Definicja 11.
Mówi się, że poprzedniki są wielkościami odpowiadającymi poprzednikom, a następniki są wielkościami odpowiadającymi następnikom.
Definicja 12.
Stosunek przemienny oznacza, że, jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to pierwsza wielkość do trzeciej jest w takim stosunku, jak druga do czwartej.
Definicja 13.
Odwrócony stosunek (inwersja stosunku) oznacza, że, jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to druga do pierwszej ma się tak, jak czwarta do trzeciej.
Definicja 14.
Stosunek "dodawanie wyrazów" oznacza, że, jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to pierwsza wraz z drugą ma się do drugiej, jak trzecia wraz z czwartą do czwartej.
Definicja 15.
Stosunek "odejmowanie wyrazów" oznacza, że, jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to nadmiar pierwszej nad drugą ma się do drugiej tak, jak nadmiar trzeciej nad czwartą do czwartej.
Definicja 16.
Zamiana stosunku oznacza, że, jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to pierwsza ma się do nadmiaru pierwszej nad drugą tak, jak trzecia do nadmiaru trzeciej nad czwartą.
Definicja 17.
Stosunek "ex aequali" pojawia się, jeśli mamy dwie równoliczne grupy wielkości, które w obrębie swojej grupie są proporcjonalne parami oraz w grupie pierwszych wielkości- pierwsza do ostatniej ma się tak, jak w drugiej grupie wielkości - wielkość pierwsza do ostatniej. Lub ,innymi słowy, oznacza to zamianę skrajnych wyrazów na środkowe.
Definicja 18.
Proporcja "perturbata" pojawia się, jeśli mamy dwie trzy-elementowe grupy wielkości oraz pierwsza wielkość do drugiej, spośród wielkości z pierwszej grupy, ma się tak, jak druga wielkość do trzeciej, spośród wielkości drugiej grupy oraz druga do trzeciej z pierwszej grupy ma się tak, jak pierwsza do drugiej z drugiej grupy.

Księga V - Twierdzenia:
Twierdzenie 1.
Jeżeli każda z dowolnej liczby wielkości jest taką samą wielokrotnością identycznej liczby innych wielkości, to suma pierwszych wielkości jest tą samą wielokrotnością sumy drugich.
Twierdzenie 2.
Jeśli pierwsza wielkość jest taką wielokrotnością drugiej jak trzecia czwartej, a piąta także jest taką samą wielokrotnością drugiej jak szósta czwartej, to suma pierwszej i piątej jest taką samą wielokrotnością drugiej jak suma trzeciej i szóstej jest wielokrotnością czwartej.
Twierdzenie 3.
Jeżeli pierwsza wielkość jest taką wielokrotnością drugiej, jaką trzecia jest czwartej i jeżeli wzięte są równe wielokrotności pierwszej i trzeciej, wtedy wzięte wielkości też są równymi wielokrotnościami odpowiednio wielkości drugiej i czwartej.
Twierdzenie 4.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 5.
Jeśli pierwsza wielkość jest taką wielokrotnością drugiej wielkości jak odjęta część pierwszej wielkości jest wielokrotnością odjętej części drugiej wielkości, to reszta pierwszej też jest tą samą wielokrotnością reszty drugiej.
Twierdzenie 6.
Jeżeli dwie wielkości są takimi samymi wielokrotnościami dwu danych wielkości i dowolne odjęte części tych wielkości są równie wielokrotne dwóm danym wielkościom, to reszty pierwszych wielkości są bądź równe danym, bądź wielokrotne względem nich.
Twierdzenie 7.
Równe wielkości mają z inną wielkością taki sam stosunek oraz inna wielkość ma z równymi wielkościami ten sam stosunek.
Twierdzenie 8.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 9.
Wielkości będące w równym stosunku względem danej wielkości, są równe między sobą oraz wielkości, względem których dana wielkość jest w równym stosunku, są równe między sobą.
Twierdzenie 10.
Z wielkości będących w stosunku do danej wielkości ta, która ma większy stosunek jest większa; natomiast ta, do której dana wielkość ma większy stosunek, jest mniejsza.
Twierdzenie 11.
Stosunki wielkości, równe pewnemu stosunkowi, są równe między sobą.
Twierdzenie 12.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 13.
Jeśli pierwsza wielkość jest w takim samym stosunku do drugiej jak trzecia do czwartej i trzecia jest w większym stosunku ma do czwartej, niż piąta do szóstej, to pierwsza jest w większym stosunku do drugiej, niż piąta do szóstej.
Twierdzenie 14.
Jeśli pierwsza wielkość jest w takim samym stosunku do drugiej jak trzecia do czwartej, i pierwsza jest większa od trzeciej, to druga jest również większa od czwartej; jeżeli jest równa, to równa; jeżeli mniejsza, to mniejsza.
Twierdzenie 15.
Części wielkości są w tym samym stosunku, co ich równe wielokrotności.
Twierdzenie 16.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 17.
Jeśli wielkości złożone są proporcjonalne, to także wielkości rozdzielone są proporcjonalne.
Twierdzenie 18.
Jeśli wielkości rozdzielone są proporcjonalne, to złożone są także proporcjonalne.
Twierdzenie 19.
Jeżeli całość ma się do całości jak jej część do części, to reszta także ma się do reszty jak całość do całości.
Wniosek
Jeśli wielkości wzięte razem są proporcjonalne, to są też proporcjonalne w konwersji.
Twierdzenie 20.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 21.
Jeżeli dane są trzy wielkości i inne, równe ich wielokrotności, które wzięte po dwie są w tym samym stosunku oraz proporcja ich jest mieszana, to wtedy, jeśli pierwsza wielkość jest większa od trzeciej, to czwarta jest również większa od szóstej; jeśli równa, to równa; jeśli mniejsza, to mniejsza.
Twierdzenie 22.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 23.
Jeżeli dane są trzy wielkości i inne, równe ich wielokrotności, które wzięte po dwie są w tym samym stosunku oraz proporcja ich jest mieszana, to są wtedy w tym samym stosunku ex aeguali.
Twierdzenie 24.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 25.
Jeśli cztery wielkości są proporcjonalne, to suma największej i ostatniej wielkości jest większa niż suma pozostałych dwóch.

© Copyright by Bronisław Pabich 2002 - 2019
pabich@interklasa.pl