HOME WSTĘP KSIĘGI FOTO HISTORIA AUTORZY MAPA
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII

KSIĘGA VI: definicje twierdzenia

Księga VI - Definicje:
Definicja 1.
Figury podobne prostoliniowe to takie, których kąty są odpowiednio równe, a boki przy tych kątach proporcjonalne.
Definicja 2.
Dwie figury są do siebie odwrotne kiedy boki przy odpowiadających sobie kątach są odwrotnie proporcjonalne.
Definicja 3.
Mówi się, że linia prosta została podzielona w złoty sposób wtedy, kiedy cała linia ma się do większego odcinka tak jak większy do mniejszego.
Definicja 4.
Wysokością jakiejkolwiek figury jest prostopadła narysowana od wierzchołka do podstawy.

Księga VI - Twierdzenia:
Twierdzenie 1.
Trójkąty i równoległoboki, które mają tę samą wysokość, mają się tak jeden do drugiego jak ich podstawy.
Twierdzenie 2.
Jeśli linia prosta jest narysowana równolegle do jednego z boków trójkąta, wówczas przecina ona boki trójkąta proporcjonalnie; a jeśli boki trójkąta przecięte są proporcjonalnie, wówczas linia łącząca punkty odcinka jest równoległa do pozostałego boku trójkąta.
Twierdzenie 3.
Jeśli kąt trójkąta jest podzielony na pół linią prostą przecinającą podstawę, wówczas odcinki podstawy maja tę samą proporcję jak pozostałe boki trójkąta; a jeśli odcinki podstawy mają taką samą proporcję jak pozostałe boki trójkąta, wówczas linia prosta łącząca wierzchołek z punktem odcinka dzieli kąt trójkąta na pół.
Twierdzenie 4.
W trójkątach równokątnych boki przy kątach równych są proporcjonalne gdzie odpowiadające sobie boki leżą na przeciw kątów równych.
Twierdzenie 5.
Jeśli dwa trójkąty mają boki proporcjonalne wtedy są trójkątami równokątnymi z kątami równymi leżącymi naprzeciw właściwych boków.
Twierdzenie 6.
Jeśli dwa trójkąty mają jeden kąt równy drugiemu kątowi i boki przy kątach równych proporcjonalne, wówczas trójkąty te są równokątne i mają te kąty równe naprzeciw odpowiadających boków.
Twierdzenie 7.
Jeżeli dwa trójkąty mają jeden kąt równy drugiemu kątowi, boki przy innych kątach proporcjonalne, a pozostałe kąty albo mniejsze lub nie mniejsze niż kąt prosty, wtedy trójkąty są równokątne i mają kąty równe przy bokach, które są proporcjonalne.
Twierdzenie 8.
Jeśli w trójkącie prostokątnym narysowana jest prostopadła od kąta prostego do podstawy, wówczas trójkąty przyległe do prostopadłej są podobne zarówno do całości jak i do siebie nawzajem.
Wniosek:
Jeśli w trójkącie prostokątnym narysowana jest prostopadła od kąta prostego do podstawy, wówczas linia prosta tak narysowana tworzy proporcję pomiędzy częściami podstawy.
Twierdzenie 9.
Wyciąć przepisaną część z danej linii prostej.
Twierdzenie 10.
Wyciąć daną nie wyciętą linię prostą podobną do danej wyciętej linii prostej.
Twierdzenie 11.
Znaleźć trzecią proporcjonalną do dwóch danych linii prostych.
Twierdzenie 12.
Znaleźć czwartą proporcjonalną do trzech danych linii prostych.
Twierdzenie 13.
Znaleźć najlepszą (złotą) proporcję dwóch danych linii prostych.
Twierdzenie 14.
W równych i równokątnych równoległobokach boki przy równych kątach są odwrotnie proporcjonalne, a równokątne równoległoboki w których boki przy kątach równych są odwrotnie proporcjonalne są równe.
Twierdzenie 15.
W trójkątach równych które mają jeden kąt równy drugiemu kątowi boki przy katach równych są odwrotnie proporcjonalne; a te trójkąty, które mają jeden kąt równy drugiemu kątowi, i w których boki przy katach równych są odwrotnie proporcjonalne, są równe.
Twierdzenie 16.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 17.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 18.
Aby opisać prostoliniową figurę podobną i podobnie położoną do danej figury prostoliniowej na danej linii prostej.
Twierdzenie 19.
Trójkąty podobne odpowiadają sobie w zduplikowanym podziale odpowiednich boków.
Wniosek:
Jeśli trzy linie proste są proporcjonalne, wówczas pierwsza ma się do trzeciej jak figura opisana na pierwszej ma się do tego co jest podobne i podobnie opisane na drugiej.
Twierdzenie 20.
W OPRACOWANIU
Wniosek:
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 21.
Figury, które są podobne do tej samej figury prostoliniowej są także podobne do siebie nawzajem.
Twierdzenie 22.
Jeśli cztery linie proste są proporcjonalne, wówczas figury prostoliniowe podobne i podobnie opisane na nich są proporcjonalne; i jeśli figury prostoliniowe podobne i podobnie opisane na nich są proporcjonalne, wówczas same linie proste są także proporcjonalne.
Twierdzenie 23.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 24.
W jakimkolwiek równoległoboku równoległoboki przy średnicy są podobne zarówno do całości jak i do siebie nawzajem.
Twierdzenie 25.
Skonstruować figurę podobną do danej figury prostoliniowej i równej do drugiej.
Twierdzenie 26.
Jeśli z równoległoboku wzięty jest równoległobok podobny i podobnie położony do całości i mający wspólny kąt z nim, wówczas ma tę samą średnicę z całością.
Twierdzenie 27.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 28.
Umieścić równoległobok równy danej figurze prostoliniowej na linii prostej ale zmniejszony przez równoległobok podobny do danego; dlatego też dana figura prostoliniowa nie może być większa niż równoległobok opisany na połowie linii prostej i podobny do danego równoległoboku.
Twierdzenie 29.
Umieścić równoległobok równy danej figurze prostoliniowej na danej linii prostej ale powiększając ją o równoległobok podobny do danego.
Twierdzenie 30.
Podzielić daną skończoną linię w złoty sposób.
Twierdzenie 31.
W trójkątach prostokątnych figura utworzona na boku leżącym na przeciw kąta prostego równa się sumie podobnych i podobnie położonych figur na bokach zawierających kąt prosty.
Twierdzenie 32.
Jeśli dwa trójkąty mające dwa boki proporcjonalne do dwóch boków są umieszczone razem w jednym kącie tak że ich odpowiadające sobie boki są także równoległe, wówczas pozostałe boki trójkątów są w linii prostej.
Twierdzenie 33.
Kąty w równych okręgach mają taką samą proporcję jak obwody kół na których są położone bez względu na to czy leżą w środku czy na obwodzie.
Twierdzenie 34.
W OPRACOWANIU
Twierdzenie 35.
W OPRACOWANIU

© Copyright by Bronisław Pabich 2002 - 2019
pabich@interklasa.pl