HOME WSTĘP KSIĘGI FOTO HISTORIA AUTORZY MAPA
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII

KSIĘGA VIII: twierdzenia

Księga VIII - Twierdzenia:
Twierdzenie 1.
Jeżeli jest tak wiele liczb ile żądamy w proporcji łańcuchowej i skrajne z nich są względnie pierwsze, wtedy liczby te są najmniejszymi z tych, które mają ten sam stosunek z nimi.
Twierdzenie 2.
Znaleźć tak wiele liczb ile zadano w proporcji łańcuchowej, najmniejszych, które są w danym stosunku.
Twierdzenie 3.
Jeżeli tak wiele liczb ile żądamy w proporcji łańcuchowej są najmniejszymi z tych , które mają z nimi ten sam stosunek, wtedy skrajne z nich są względnie pierwsze.
Twierdzenie 4.
Mając dane tak wiele stosunków ile żądamy z najmniejszymi liczbami, znaleźć liczby w proporcji łańcuchowej, które są najmniejszymi w danych stosunkach.
Twierdzenie 5.
Liczby płaskie mają jedna do drugiej stosunek złożony ze stosunków ich boków.
Twierdzenie 6.
Jeżeli jest tak wiele liczb ile żądamy w proporcji łańcuchowej i pierwsza nie mierzy drugiej, wtedy żadna inna nie mierzy żadnej innej.
Twierdzenie 7.
Jeżeli jest tak wiele liczb ile żądamy w proporcji łańcuchowej i pierwsza mierzy ostatnią, wtedy mierzy ona również drugą.
Twierdzenie 8.
Jeżeli między dwie liczby padają liczby będące z nimi w proporcji łańcuchowej, wtedy, jakkolwiek wiele liczb pada między nie w proporcji łańcuchowej, tak wiele również pada w proporcji łańcuchowej między liczby, które mają te same stosunki z liczbami początkowymi.
Twierdzenie 9.
Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, a liczby w proporcji łańcuchowej padają między nie , wtedy, jakkolwiek wiele liczb w proporcji łańcuchowej pada między nie, tak wiele również pada w proporcji łańcuchowej między każdą z nich a jedność.
Twierdzenie 10.
Jeżeli liczby padają między dwie liczby i jedność w proporcji łańcuchowej, wtedy, jakkolwiek wiele liczb pada między każdą z nich i jedność w proporcji łańcuchowej, tak wiele również pada między same te liczby w proporcji łańcuchowej.
Twierdzenie 11.
Między dwiema kwadratowymi liczbami znajduje się jedna środkowa proporcjonalna liczba, i kwadrat ma do kwadratu ten dwukrotny stosunek , który bok ma do boku.
Twierdzenie 12.
Między dwiema sześciennymi liczbami znajdują się dwie środkowe proporcjonalne liczby, i sześcian ma do sześcianu ten trzykrotny stosunek, który bok ma do boku.
Twierdzenie 13.
Jeżeli jest tak wiele liczb ile żądamy w proporcji łańcuchowej i każda pomnożona przez siebie daje pewną liczbę, to iloczyny są proporcjonalne; i, jeżeli początkowe liczby pomnożone przez iloczyny dają pewne liczby, to te końcowe również są proporcjonalne.
Twierdzenie 14.
Jeżeli kwadrat mierzy kwadrat, wtedy również bok mierzy bok; i, jeżeli bok mierzy bok, wtedy również kwadrat mierzy kwadrat.
Twierdzenie 15.
Jeżeli liczba sześcienna mierzy liczbę sześcienną, wtedy również bok mierzy bok; i, jeżeli bok mierzy bok, wtedy również sześcian mierzy sześcian.
Twierdzenie 16.
Jeżeli kwadrat nie mierzy kwadratu, wtedy również bok nie mierzy boku; i, jeżeli bok nie mierzy boku, wtedy również kwadrat nie mierzy kwadratu.
Twierdzenie 17.
Jeżeli liczba sześcienna nie mierzy liczby sześciennej, wtedy również bok nie mierzy boku; i, jeżeli bok nie mierzy boku, wtedy również sześcian nie mierzy sześcianu.
Twierdzenie 18.
Między dwiema podobnymi liczbami płaskimi znajduje się jedna środkowa proporcjonalna liczba, i liczba płaska ma do liczby płaskiej ten dwukrotny stosunek, który odpowiedni bok ma do odpowiedniego boku.
Twierdzenie 19.
Między dwie podobne liczby przestrzenne padają dwie środkowe proporcjonalne liczby, i liczba przestrzenna ma do liczby przestrzennej ten trzykrotny stosunek, który odpowiedni bok ma do odpowiedniego boku.
Twierdzenie 20.
Jeżeli jedna środkowa proporcjonalna liczba pada między dwie liczby, wtedy liczby te są podobnymi liczbami płaskimi.
Twierdzenie 21.
Jeżeli dwie środkowe proporcjonalne liczby padają między dwie liczby, wtedy liczby te są podobnymi liczbami przestrzennymi.
Twierdzenie 22.
Jeżeli trzy liczby są w proporcji łańcuchowej i pierwsza jest kwadratem, wtedy trzecia jest również kwadratem.
Twierdzenie 23.
Jeżeli cztery liczby są w proporcji łańcuchowej i pierwsza jest sześcianem, wtedy czwarta jest jest również sześcianem.
Twierdzenie 24.
Jeżeli dwie liczby mają jedna do drugiej stosunek, który liczba kwadratowa ma do liczby kwadratowej i pierwsza jest kwadratem, wtedy druga również jest kwadratem.
Twierdzenie 25.
Jeżeli dwie liczby mają jedna do drugiej stosunek, który liczba sześcienna ma do liczby sześciennej i pierwsza jest sześcianem, wtedy druga jest również sześcianem.
Twierdzenie 26.
Podobne liczby płaskie mają jedna do drugiej stosunek, który liczba płaska ma do liczby płaskiej.
Twierdzenie 27.
Podobne liczby przestrzenne mają jedna do drugiej stosunek, który liczba sześcienna ma do liczby sześciennej.

© Copyright by Bronisław Pabich 2002 - 2019
pabich@interklasa.pl