HOME WSTĘP KSIĘGI FOTO HISTORIA AUTORZY MAPA
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII

KSIĘGA X: definicje 1 definicje 2 definicje 3
twierdzenia 1 twierdzenia 2 twierdzenia 3
Księga X - Definicje I:
Definicja 1.
Te długości, które da się zmierzyć tą samą miarą zwane są współmierne a te, które nie mogą mieć wspólnej miary zwane są niewspółmierne.
Definicja 2.
Linie proste są współmierne w kwadracie, kiedy kwadraty są mierzone na nich tym samym obszarem, a niewspółmierne w kwadracie kiedy kwadraty na nich nie mogą mieć żadnego obszaru jako wspólną miarę.
Definicja 3.
Na podstawie tego przypuszczenia udowadniamy, że istnieją nieograniczone sumy odcinków, które są współmierne i niewspółmierne, w tej kolejności niektóre tylko w długości a inne w kwadracie, z przydzielonym odcinkiem. Niech ten przydzielony odcinek będzie wymierny, i te odcinki, które są z nim współmierne, czy w długości i kwadracie, lub tylko w kwadracie, także zwane wymiernymi, a te odcinki, które są z nim niewspółmierne są zwane niewymierne.
Definicja 4.
Niech kwadrat na tej przydzielonej linii będzie nazwany wymiernym, a te obszary, które są z nim współmierne będą także zwane wymierne, ale te obszary, które są z nim niewspółmierne będą niewymierne, a linie proste, które je tworzą także są niewymierne, to znaczy w przypadku w którym obszary są kwadratami to boki, ale w przypadku w jakim one są jakimikolwiek innymi figurami to proste linie na których opisane są kwadratami równymi do nich.

Księga X - Twierdzenia I:
Twierdzenie 1.
Dwie nierówne wielkości będąc ustalone, jeśli od większej odjęta jest wielkość większa za od jej połowy i od tego co zostaje także odjęta wielkość od jej połowy, i proces ten będzie powtarzany to pozostanie wielkość mniejsza od tej mniejszej ustalonej wielkości. To twierdzenie może być podobnie udowodnione, nawet kiedy części odejmowane to tylko połówki.
Twierdzenie 2.
Jeżeli, kiedy mniejsza z dwóch nierównych wielkości jest wciąż odejmowana od tej większej wielkości, i to co zostaje nigdy nie mierzy to poprzednie, to te dwie wielkości są wtedy niewspółmierne.
Twierdzenie 3.
Żeby znaleźć największą wspólną miarę dwóch danych odległości.
Wniosek:
Jeżeli odległość mierzy dwie odległości to ona także mierzy ich największą wspólna miarę.
Twierdzenie 4.
Żeby znaleźć największa wspólną miarę trzech danych odległości.
Wniosek:
Jeżeli odległość mierzy trzy odległości to ona także mierzy ich największą wspólna miarę. Największa wspólna miara może być podobnie znaleziona dla większych ilości odległości, i wniosek przedłużony.
Twierdzenie 5.
Współmierne wielkości mają wobec siebie stosunek taki sam jak liczba do liczby.
Twierdzenie 6.
Jeżeli dwie wielkości maja wobec siebie stosunek jak liczba do liczby to te wielkości są niewspółmierne.
Twierdzenie 7.
Niewspółmierne wielkości nie mają wobec siebie stosunku, który liczba ma do liczby.
Twierdzenie 8.
Jeżeli wielkości nie mają wobec siebie stosunku, który ma liczba wobec liczby to te wielkości są niewspółmierne.
Twierdzenie 9.
Kwadraty na liniach prostych współmierne w długości maja wobec siebie stosunek, który maja dwie liczby do kwadratu wobec siebie, i kwadraty, które mają wobec siebie stosunek jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie, także maja boki współmierne w długości. Ale kwadraty na liniach prostych niewspółmiernych w długości nie maja wobec siebie stosunku jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie i kwadraty, które nie maja do siebie stosunku jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie, także nie maja boków współmiernych w długości.
Wniosek:
Linie proste współmierne w wielkości są także współmierne w kwadracie, ale te współmierne w kwadracie nie zawsze są współmierne w długości.
Lemat:
Liczby podobne płaszczyznowo maja do siebie stosunek jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie. Jeśli dwie liczby wobec siebie maja stosunek jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie to są liczby podobnie płaszczyznowo.
Następstwo 2:
Liczby, które nie są liczbami podobnymi płaszczyznowo to znaczy liczby, które nie mają proporcjonalnych boków, nie maja do siebie stosunku jak dwie liczby do kwadratu wobec siebie.
Twierdzenie 10.
Żeby znaleźć dwie linie proste niewspółmierne, jedna tylko w długości, a druga tylko w kwadracie z przydzieloną linia prostą.
Twierdzenie 11.
Jeśli cztery z wielkości są proporcjonalne, i pierwsza jest współmierna z drugą, to trzecia jest także współmierna z czwartą, ale jeżeli pierwsza jest niewspółmierna z drugą, to trzecia jest także niewspółmierna z czwartą.
Twierdzenie 12.
Wielkości współmierne z ta samą wielkością są ze sobą współmierne.
Twierdzenie 13.
Jeżeli dwie wielkości są współmierne i jedna z nich jest niewspółmierna z jakąkolwiek wielkością, to pozostająca jest także niewspółmierna z tym samym.
Twierdzenie 14.
Jeżeli cztery linie są proporcjonalne i kwadrat jest na pierwszej jest większy od kwadratu na drugiej, o kwadrat na linii prostej współmiernej z pierwszą to kwadrat na trzeciej jest także większy niż kwadrat na czwartej, o kwadrat na trzeciej linii współmiernej z trzecim, i jeśli kwadrat na pierwszej linii jest większy niż kwadrat na drugiej linii, o kwadrat na linii prostej, niewspółmiernej z pierwszą, to kwadrat na trzeciej linii jest także większy od kwadratu na czwartej linii, o kwadrat na trzeciej linii niewspółmiernej z trzecią.
Lemat:
Mając dwie nierówne linie proste, aby znaleźć o jaki kwadrat , kwadrat na większej linii jest większy od kwadratu na mniejszej. Mając dwie linie proste, aby znaleźć linię prostą na, której kwadrat równa się suma kwadratów na nich.
Twierdzenie 15.
Jeżeli współmierne wielkości są dodane razem, to całość jest także współmierna z każdą z nich. A, jeżeli całość jest współmierna z jedną z nich, to oryginalne wielkości są również współmierne.
Twierdzenie 16.
Jeżeli dwie niewspółmierne wielkości są dodane razem ,to suma jest także niewspółmierna z każdą z nich, ale jeżeli suma jest niewspółmierna z jedną z nich, te oryginalne wielkość są także niewspółmierne.
Twierdzenie 17.
Jeśli są dwie nierówne linie proste, i do większej jest dodany równoległobok, równy do czwartej części kwadratu na mniejszej, ale brakującej kwadratu, jeżeli podzieli się to na części współmierne w długości to kwadrat na większej jest większy od kwadratu na mniejszej o kwadrat na linii prostej współmiernej z mniejszą. Jeżeli kwadrat na większej jest większy od kwadratu na mniejszej o kwadrat na linii prostej współmiernej z mniejszą. Jeśli jest dodany do większej równoległobok równy do czwartej części na mniejszej brakującej o kwadrat, to jest podzielony na części współmierne w długości.
Lemat:
Jeżeli do jakiejkolwiek linii prostej jest dodany równoległobok, któremu brakuje kwadratu, to ten dodany równoległobok jest równy do prostokąta mieszczącemu się w odcinkach linii prostych wynikłych z dodawania.
Twierdzenie 18.
Jeżeli są dwie nierówne linie proste, i do większej dodamy równoległobok równy do czwartej części kwadratu na mniejszej, której brakuje kwadrat. I jeżeli to się dzieli na niewspółmierne części, to kwadrat na większej jest większy od kwadratu na mniejszej o kwadrat na linii prostej niewspółmiernej z większą. I jeśli kwadrat na większej jest większy od kwadratu na mniejszej o linię prostą niewspółmiernej z większą i jeśli dodamy do większej równoległobok równy do czwartej części kwadratu na mniejszej, ale brakującej o jeden kwadrat to podzieli się to na niewspółmierne części.
Twierdzenie 19.
Prostokąt mieszczący się w wymiernych liniach prostych współmiernych w długości jest wymierny.
Twierdzenie 20.
Jeżeli wymierny obszar jest dodany do wymiernego odcinka to jako szerokość da to odcinek wymierny i współmierny w długości z odcinkiem do, którego jest dodany.
Twierdzenie 21.
Prostokąt mieszczący się w wymiernych odcinkach współmiernych tylko w kwadracie, jest niewymierny i boki kwadratu do niego równego są niewymierne. Niech one nazywają się środkowe (średnie).
Twierdzenie 22.
Kwadrat na środkowym odcinku, jeśli dodamy do wymiernego odcinka daje jako szerokość odcinek wymierny i niewspółmierny w długości z tym do, którego jest dodany.
Lemat:
Jeżeli są dwa odcinki, to pierwszy jest do drugiego tak, jak kwadrat na pierwszym do prostokąta mieszczącego się między tymi odcinkami.
Twierdzenie 23.
Odcinek współmierny ze środkowym odcinkiem jest środkowy.
Wniosek:
Obszar współmierny ze środkowym obszarem jest środkowy.
Twierdzenie 24.
Prostokąt mieszczący się w środkowych odcinkach wymiernych w długości jest środkowy.
Twierdzenie 25.
Prostokąt mieszczący się w środkowym odcinku współmiernym w kwadracie jest albo wymierny albo środkowy.
Twierdzenie 26.
Środkowy obszar nie przekracza środkowego obszaru o wymierny obszar.
Twierdzenie 27.
Aby znaleźć środkowe odcinki współmierne w kwadracie tylko, w których mieści się prostokąt środkowy.
Twierdzenie 28.
Aby znaleźć środkowe odcinki współmierne w kwadracie tylko, w których mieści się prostokąt.
Twierdzenie 29.
Aby znaleźć dwa wymierne odcinki współmierne tylko w kwadracie, tak aby kwadrat na większej był większy od kwadratu na mniejszej o kwadrat na odcinku współmiernym na odcinku z większym.
Lemat 1:
Aby znaleźć dwie liczby kwadratowe i aby ich suma także była kwadratowa.
Lemat 2:
Aby znaleźć dwie liczby kwadratowe i aby ich suma nie była kwadratowa.
Twierdzenie 30.
Aby znaleźć dwa wymierne odcinki współmierne tylko w kwadracie tak aby kwadrat był większy niż kwadrat na mniejszym o kwadrat na odcinku niewspółmiernego długości z większych.
Twierdzenie 31.
Aby znaleźć dwa środkowe odcinki współmierne tylko w kwadracie, w których mieści się środkowy prostokąt, tak aby kwadrat na większym był większy od kwadratu na mniejszym o kwadrat na odcinku współmiernym w długości z większym.
Twierdzenie 32.
Aby znaleźć dwa środkowe odcinki współmierne tylko w kwadracie, w którym mieści się środkowy trójkąt, tak aby kwadrat na większej, był większy od kwadratu na mniejszej o kwadrat na odcinku współmierna z większym odcinkiem.
Twierdzenie 33.
Aby znaleźć dwa odcinki niewspółmierne w kwadracie, których suma kwadratów na nich była wymierne , ale prostokąt, który się między nimi mieści był środkowy.
Twierdzenie 34.
Aby znaleźć dwa odcinki niewspółmierne w kwadracie, w których suma kwadratów na nich była środkowa, ale prostokąt, który się miedzy nimi mieści był wymierny.
Twierdzenie 35.
Aby znaleźć dwa odcinki niewspółmierne w kwadracie, gdzie suma kwadratów na nich była środkowa a prostokąt mieszczący się między nimi był środkowy i niewspółmierny z sumą kwadratów na nich.
Twierdzenie 36.
Jeżeli dwa wymierne odcinki współmierne tylko w kwadracie są dodane, a całość jest niewymierna, niech będzie wiec nazwana dwumianem.
Twierdzenie 37.
Jeżeli dwa wymierne odcinki współmierne tylko w kwadracie, miedzy którymi mieści się środkowy prostokąt, są dodane, i całość jest niewymierna, to niech będzie więc nazwana pierwszym dwumianem odcinka.
Twierdzenie 38.
Jeżeli dwa środkowe odcinki współmierne tylko w kwadracie, miedzy którymi mieści się środkowy prostokąt, są dodane, i całość jest niewymierna, to niech będzie więc nazwana drugim dwumianem odcinka.
Twierdzenie 39.
Jeżeli dwa odcinki niewspółmierne w kwadracie, gdzie suma kwadratów na nich jest wymierna, ale prostokąt mieszczący sie miedzy nimi jest środkowy, są dodane, to cały odcinek jest niewymierny, niech będzie nazwany wielki.
Twierdzenie 40.
Jeśli dwa odcinki niewspółmierne w kwadracie, gdzie suma kwadratów na nich jest środkowa, ale prostokąt mieszczący się między nimi jest wymierny, i są dodane, to cały odcinek nazwijmy bokiem wymiernego plus środkowy obszar.
Twierdzenie 41.
Jeżeli dwa odcinki niewymierne w kwadracie, gdzie suma kwadratów na nich jest środkowa prostokąt mieszczący się między nimi jest środkowy i także niewymierny z suma kwadratów na nich, są dodane, to cały odcinek jest niewymierny. Niech będzie wiec nazywany bok sumy dwóch środkowych obszarów.
Twierdzenie 42.
Dwumienny odcinek jest podzielony na swoje terms tylko w jednym punkcie.
Twierdzenie 43.
Pierwszy dwu środkowy odcinek jest podzielony w jednym i tym samym miejscu.
Twierdzenie 44.
Drugi dwu środkowy odcinek, jest dzielony tylko w jednym miejscu.
Twierdzenie 45.
Wielki segment jest dzielony tylko w jednym miejscu.
Twierdzenie 46.
Bok wymiernego dodany do środkowego obszaru jest dzielony tylko w jednym miejscu.
Twierdzenie 47.
Bok sumy dwóch środkowych obszarów jest dzielony tylko w jednym miejscu.

Księga X - Definicje II:
Definicja 5.
Danym wymierny odcinek i dwumienną, podzielone na terms, tak aby kwadrat na większym term był większy niż kwadrat na mniejszym, o kwadrat na odcinku współmiernym w długości z większym, wtedy jeśli większy term jest współmierny w długości z danym wcześniej wymiernym odcinkiem. Niech całość będzie nazwana pierwszym dwumiennym odcinkiem.
Definicja 6.
Ale, mniejszy term jest współmierny w długości z wymiernym odcinkiem, i niech całość będzie drugim dwumiennym.
Definicja 7.
Jeśli żaden z term jest współmierny w długości z danym na początku wymiernym odcinkiem, to niech całość będzie zwana trzecim dwumiennym.
Definicja 8.
Jeśli kwadrat na większym term jest większy niż kwadrat na mniejszym, o kwadrat na odcinku niewspółmiernym w długości z większym, i jeśli większy term jest współmierny w długości z danym na początku wymiernym odcinkiem, to niech całość będzie zwana czwartym dwumiennym.
Definicja 9.
A jeśli mniejszy to będzie zwane piątym dwumiennym.
Definicja 10.
A jeśli żaden, to będzie zwana szóstym dwumiennym.

Księga X - Twierdzenia II:
Twierdzenie 48.
Znalezienie pierwszej dwumiennej linii.
Twierdzenie 49.
Znalezienie drugiej dwumiennej linii.
Twierdzenie 50.
Znalezienie trzeciej dwumiennej linii.
Twierdzenie 51.
Znalezienie czwartej dwumiennej linii.
Twierdzenie 52.
Znalezienie piątej dwumiennej dwumiennej linii.
Twierdzenie 53.
Znalezienie szóstej dwumiennej linii.
Twierdzenie 54.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i pierwszej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny odcinkiem, który jest dwu środkowy.
Twierdzenie 55.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i drugiej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny odcinkiem, który jest pierwszą dwu środkową.
Twierdzenie 56.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i trzeciej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny z odcinkiem, który jest drugą dwu środkową.
Twierdzenie 57.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i czwartej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny z odcinkiem, który jest wielki.
Twierdzenie 58.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i piątej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny z odcinkiem, który jest bokiem wymiernym dodanym do środkowego obszaru.
Twierdzenie 59.
Jeśli obszar mieści się w wymiernym odcinku i szóstej dwumiennej, wtedy bok tego obszaru jest niewymierny z odcinkiem, który jest bokiem sumy dwóch środkowych obszarów.
Twierdzenie 60.
Kwadrat na dwumiennym odcinku dodany do wymiernego odcinka daje jako szerokość pierwszy dwumienny.
Lemat:
Jeśli odcinek jest przecięte w nierówne części to suma kwadratów na tych nierównych częściach jest większa niż dwa razy prostokąt mieszczący się w nierównych częściach.
Twierdzenie 61.
Kwadrat na pierwszym dwumiennym odcinku dodany do wymiernego odcinka daje jako szerokość drugi dwumienny.
Twierdzenie 62.
Kwadrat na drugim dwumiennym odcinku dodawany do wymiernego odcinka daje jako szerokość trzeci dwumienny.
Twierdzenie 63.
Kwadrat na wielkim odcinku dodawany do wymiernego odcinka daje szerokość jako czwarty dwumienny.
Twierdzenie 64.
Kwadrat na boku wymiernej, dodanej do środkowego obszaru, dodane do wymiernego odcinka daje, jako szerokość piąty dwumienny.
Twierdzenie 65.
Kwadrat na boku sumy dwóch środkowych obszarów, dodany do wymiernego odcinka daje jako szerokość szósty dwumienny.
Twierdzenie 66.
Odcinek współmierny z dwumiennym odcinkiem jest sam w sobie dwumienny i w takiej samej kolejności.
Twierdzenie 67.
Odcinek współmierny z dwu środkowym odcinkiem jest sam w sobie dwu środkowy i w tej samej kolejności.
Twierdzenie 68.
Odcinek współmierny z wielkim odcinkiem jest sam w sobie także wielki.
Twierdzenie 69.
Odcinek współmierny z bokiem wymiernym dodany do środkowego obszaru jest sam w sobie także bokiem wymiernym dodanym do środkowego obszaru.
Twierdzenie 70.
Odcinek współmierny z bokiem sumy dwóch środkowych obszarów jest bokiem sumy dwóch środkowych obszarów.
Twierdzenie 71.
Jeśli wymierny i środkowy są dodane to cztery niewymierne odcinki powstają, a dokładniej to dwumienny, albo pierwszy dwu środkowy, albo wielki, albo bok wymiernego dodanego do środkowego obszaru.
Twierdzenie 72.
Jeżeli dwa środkowe obszary niewspółmierne ze sobą są dodane, to pozostające dwa niewymierne odcinki powstają, a są to, albo dwu środkowe, albo bok sumy dwóch środkowych obszarów.
Twierdzenie 73.
Jeśli od wymiernego odcinka odejmiemy wymierny odcinek współmierny z całością tylko w kwadracie to reszta jest niewymierna, więc niech nazwana będzie apotome.
Twierdzenie 74.
Jeżeli od środkowego odcinka jest odjęty środkowy odcinek współmierny z całością, tylko w kwadracie i w którym mieści się z całością, wymierny prostokąt, to reszta jest niewymierna, i niech będzie nazwana pierwsze apotome środkowego odcinka.
Twierdzenie 75.
Jeśli od środkowego odcinka jest odjęty środkowy odcinek, który jest współmierny z całością tylko w kwadracie, i w którym mieści się z całością środkowy prostokąt, to reszta będzie niewymierna i nazwana drugie apotome środkowego odcinka.
Twierdzenie 76.
Jeśli od odcinka jest odjęty odcinek który jest niewspółmierny w kwadracie z całością i w który z całością tworzy sumę kwadratu na nich dodanych razem wymiernych ale prostokąt mieszczący się w nich jest środkowy to reszta jest niewymierna i niech będzie zwana mniejszą.
Twierdzenie 77.
Jeśli od odcinka odjęty jest odcinek, który jest niewspółmierny w kwadracie z całością, i który z całością tworzy sumę kwadratów na nich środkową, ale dwa razy prostokąt mieszczący się w nich wymierny, reszta jest niewymierna, i niech będzie nazwana tym co daje wymiernym obszarem środkową całość.
Twierdzenie 78.
Jeśli od odcinka jest odjęty niewspółmierny w kwadracie z całością, i który z całością tworzy sumę kwadratów na nich środkową, dwa razy prostokąt, mieszczący się miedzy nimi środkowy i także, kwadraty na nich niewspółmierne z dwa razy prostokątem mieszczącym się miedzy nimi, to reszta jest niewymierna i niech będzie nazwana to, które daje ze środkowym obszarem środkowa całość.
Twierdzenie 79.
Do apotome tylko jeden wymierny odcinek może być załączony , który jest współmierny z całością tylko w kwadracie.
Twierdzenie 80.
Do pierwszego apotoma środkowego odcinka, tylko jeden środkowy odcinek może być załączony, który jest współmierny z całością tylko w kwadracie, i w którym mieści się z całością środkowy prostokąt.
Twierdzenie 81.
Do drugiego apotome środkowego odcinka, tylko jeden środkowy odcinek może być załączony, który jest współmierny z całością, tylko w kwadracie, i który mieści z całością środkowy prostokąt.
Twierdzenie 82.
Do mniejszego odcinka tylko jeden odcinek może być załączony, który jest niewspółmierny w kwadracie z całością, i który tworzy z całością sumę kwadratów na nich wymierną, ale dwa razy tyle co prostokąt mieszczący się miedzy nimi, środkowy.
Twierdzenie 83.
Do odcinka, który tworzy z wymiernym obszarem środkową całość, tylko jeden odcinek może być załączony, który jest niewspółmierny kwadracie z całym odcinkiem, i który z całym odcinkiem tworzy sumę kwadratów na nich środkową, a dwa razy prostokąt mieszczący się miedzy nimi wymierny.
Twierdzenie 84.
Do odcinka, który tworzy ze środkowym obszarem środkową całość, tylko jeden odcinek może być dołączony, który jest niewspółmierny w kwadracie z całym odcinkiem, i który z całym odcinkiem tworzy sumę kwadratów na nich środkowa i dwa razy prostokąt mieszczący się w nich środkowy i niewspółmierny z suma kwadratów na nich.

Księga X - Definicje III:
Definicja 11.
Dany wymierny odcinek i apotome, jeśli kwadrat na całości jest większy, niż kwadrat na załączeniu o kwadrat na odcinku współmiernym w długości z całością i całość jest współmierna w długości z wymiernym odcinkiem danym na początku, niech apotome będzie zwane pierwsze apotome.
Definicja 12.
Ale, jeśli załączenie jest współmierne z wymiernym odcinkiem danym na początku i kwadrat na całości jest większy niż kwadrat na załączeniu, o kwadrat na odcinku współmiernym z całością niech to apotome będzie zwane drugie apotome.
Definicja 13.
Ale, jeśli żaden nie jest współmierny w długości z wymiernym odcinkiem danym na początku i kwadrat na całości jest większy, niż kwadrat na załączeniu,, o kwadrat na odcinku współmiernym z całością niech to apotome, będzie się nazywało trzecim apotome.
Definicja 14.
Jeżeli kwadrat na całości jest większy, niż kwadrat na załączeniu o kwadrat na odcinku niewspółmiernym z całością, to jeśli całość jest współmierna w długości z wymiernym odcinkiem danym na początku to, niech apotome będzie zwane czwartym apotome.
Definicja 15.
Jeśli załączenie jest współmierne, to będzie to piąte apotome.
Definicja 16.
Ale, jeśli żadne to będzie to szóste apotome.

Księga X - Twierdzenia III:
Twierdzenie 85.
Znalezienie pierwszego apotome.
Twierdzenie 86.
Znalezienie drugiego apotome.
Twierdzenie 87.
Znalezienie trzeciego apotome.
Twierdzenie 88.
Znalezienie czwartego apotome.
Twierdzenie 89.
Znalezienie piątego apotome.
Twierdzenie 90.
Znalezienie szóstego apotome.
Twierdzenie 91.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i pierwszej apotome, wtedy bok obszaru jest apotome.
Twierdzenie 92.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i drugiej apotome, wtedy bok obszaru będzie pierwszą apotome i środkowego odcinka.
Twierdzenie 93.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i trzecim apotome to bok tego obszaru jest drugim apotome środkowego odcinka.
Twierdzenie 94.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i czwartym apotome to bok tego obszaru jest mniejszy.
Twierdzenie 95.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i piąty apotome to bok tego obszaru jest odcinkiem, który daje z wymiernym obszarem środkowa całość.
Twierdzenie 96.
Jeżeli obszar jest umieszczony na wymiernym odcinku i szóstej apotome to bok tego obszaru jest odcinkiem, który daje ze środkowym obszarem środkowa całość.
Twierdzenie 97.
Kwadrat na apotome, środkowego odcinka dodany do wymiernego odcinka, daje jako szerokość pierwsza apotome.
Twierdzenie 98.
Kwadrat na pierwszej apotome, środkowego odcinka dodany do wymiernego odcinka daje, jako szerokość drugie apotome.
Twierdzenie 99.
Kwadrat na drugiej apotome, środkowego odcinka dodany do wymiernego odcinka daje jako szerokość trzecie apotome.
Twierdzenie 100.
Kwadrat na mniejszym odcinku, dodany do wymiernego odcinka daje, jako szerokość czwarte apotome.
Twierdzenie 101.
Kwadrat na odcinku, który daje z wymiernym obszarem środkową całość, jeśli dodany do wymiernego odcinka daje, jako szerokość piąte apotome.
Twierdzenie 102.
Kwadrat na odcinku, który daje ze środkowym obszarem środkową całość, jeśli dodany do wymiernego odcinka daje jako szerokość szóste apotome.
Twierdzenie 103.
Odcinek współmierny w długości z apotome jest apotome i w tej samej kolejności.
Twierdzenie 104.
Odcinek współmierny z apotome środkowego odcinka jest apotome środkowego odcinka i w tej samej kolejności.
Twierdzenie 105.
Odcinek współmierny z mniejszym odcinkiem jest mniejszy.
Twierdzenie 106.
Odcinek współmierny z tym co daje z wymiernym obszarem środkową całość jest odcinkiem, który daje z wymiernym obszarem środkową całość.
Twierdzenie 107.
Odcinek współmierny z tym co tworzy ze środkowym obszarem, środkową całość jest sama w sobie także odcinkiem, który daje ze środkowym obszarem, środkową całość.
Twierdzenie 108.
Jeśli od wymiernego obszaru odjęty jest środkowy obszar, bok pozostającego obszaru staje się jedną z dwóch odcinków, albo apotome, albo odcinek mniejszy.
Twierdzenie 109.
Jeżeli od środkowego obszaru odjęty jest wymierny obszar to powstają dwa niewymierne odcinki, albo pierwsze apotome środkowego odcinka, albo odcinek który daje z wymiernym obszarem środkowa całość.
Twierdzenie 110.
Jeżeli od środkowego obszaru odjęty jest środkowy obszar niewspółmierny z całością, to dwa pozostające niewymierne odcinki pojawiają się, albo drugie apotome środkowego odcinka, albo odcinek, który daje ze środkowym obszarem środkowa całość
Twierdzenie 111.
Apotome nie jest tym samym co dwumienny odcinek.
Twierdzenie 112.
Kwadrat na wymiernym odcinku dodany do dwumiennego odcinka daje jako szerokość apotome których terms są niewspółmierne z terms dwumiennego odcinka i także w tym samym stosunku. Także aptome w ten sposób powstające ma ta samą kolejność co dwumienny odcinek.
Twierdzenie 113.
Kwadrat na wymiernym odcinku jeśli dodany do apotome tworzy, jako szerokość dwumienny odcinek, który w terms są współmierne z terms z apotome i w tym samym stosunku także dwumienny w ten sposób powstający ma tą samą kolejność co apotome.
Twierdzenie 114.
Jeżeli obszar mieszczący się w apotome i dwumiennym odcinku którego terms są współmierne z terms i apotome i w tym samym stosunku to bok tego obszaru jest wymierny.
Wniosek:
Możliwe jest aby wymierny obszar mieścił się w niewymiernych odcinkach.
Twierdzenie 115.
Ze środkowego odcinka tworzone są niewymierne odcinki z nieograniczona ilością i żaden z nich nie jest taki sam jak następny.

© Copyright by Bronisław Pabich 2002 - 2019
pabich@interklasa.pl