Strona ta opisuje kolejne własności trójkąta. które można odkryć przy pomocy programu CABRI II.
Konstrukcje CABRI przedstawione są jako jest aplety, co oznacza, że użytkownik może uczestniczyć
w samodzielnym odkrywaniu tych własności. Wystarczy poruszać obiekty według zamieszczonej instrukcji.
Nie przesuwaj zbyt szybko strony, gdyż komputer może nie nadążyć z odświeżaniem ekranu.
W Windows XP może pojawić się u góry pasek o treści: "Aby pomóc w zapewnieniu bezpieczeństwa, program Internet Explorer ograniczył temu plikowi możliwość wyświetlania zawartości aktywnej, która mogłaby uzyskać dostęp do tego komputera". Należy wówczas kliknąć w ten pasek i uaktywnić go.

PROBLEM 11	CZTERY OKRĘGI TRÓJKĄTA.
	Utwórz dowolny trójkąt ABC i skonstruuj jego ortocentrum H (punkt przecięcia się wysokości trójkąta lub prostych je zawierających). Skonstruuj trzy okręgi tak, by każdy z nich przechodził przez dwa wierzchołki tego trójkąta i jego ortocentrum. Zmieniaj kształt i rozmiary trójkąta przez poruszanie jednym z jego wierzchołków i obserwuj okręgi. Który z nich wydaje Ci się być największym? Dla potwierdzenia swoich przypuszczeń zmierz ich promienie tworząc je wcześniej. Co dostrzegasz?
	Skonstruuj dodatkowo okrąg opisany na trójkącie ABC. W jakiej relacji pozostaje on z okręgami skonstruowanymi wcześniej?
	Niech środki tych okręgów będą punktami O₁, O₂, O₃. Połącz odcinkami każdy z nich z najbliższymi wierzchołkami trójkąta tak, by otrzymać sześciokąt. Poruszając dowolnym z wierzchołków trójkąta zaobserwuj, czy to zawsze jest sześciokąt? Jakie własności ma ta figura? Spróbuj udowodnić odkryte twierdzenia. Postaw problem odwrotny do rozwiązanego.

PROBLEM 12

PROSTA SIMSONA

Rozważ dowolny trójkąt ABC. Niech punkt P będzie dowolnym punktem płaszczyzny . Skonstruuj rzuty prostokątne P₁, P₂ i P₃ punktu P na proste zawierające boki trójkąta. Trójkąt P₁P₂P₃ nazywamy trójkątem rzutów punktu P. Czy punkty te zawsze są wierzchołkami trójkąta?
Czy potrafisz znaleźć takie położenie punktu P, aby jego rzuty P₁, P₂ i P₃ były współliniowe?

Teraz w konstrukcji masz utworzoną prostą P₁P_2. Poruszaj punkt P po płaszczyźnie tak, aby punkt P₃ należał do prostej P₁P₂.

Obserwuj, jaką krzywą zakreśli wówczas punkt P.

Uaktywnij dolne menu apletu klikając w niego dwukrotnie.
Pojawi się pasek z narzędziami, które pozwolą Ci odpowiedzieć na powyższe pytanie.
Poszukaj w pasku narzędzi opcji pozostawiania śladu. Uaktywnij nim punkt P i poruszając go po ekranie odkryj, po jakiej krzywej musiałby się on poruszać, by rzuty P₁, P₂ i P₃ były współliniowe.

Czy krzywa ta przechodzi przez wierzchołki trójkąta ABC?

Teraz punkt P jest zaczepiony do okręgu opisanego na trójkącie ABC. Czy teraz potwierdzasz to, co dostrzegłeś wcześniej?

Prosta przechodząca przez punkty P₁, P₂ i P₃ nazywa się prostą rzutów dla punktu P lub prostą Simsona.

Niech H będzie ortocentrum trójkąta ABC, zaś Q środkiem odcinka PH . Jakie jest położenie punktu Q? Chwyć myszą jeden z wierzchołków trójkąta ABC i sprawdź, czy w trakcie zmiany jego kształtów zachowują się dostrzegane przez Ciebie własności?
Skonstruuj okrąg Eulera dla trójkąta ABC. Sprawdź czy punkt Q należy do tego okręgu? Jeżeli tak, to kiedy? Dlaczego?

W tym celu uaktywnij ponownie pasek narzędzi apletu, wywołaj z niego opcję "animacja", kliknij w punkt P, rozciągnij "sprężynkę animacji" i kliknij ponownie w opcje animacji. Punkt P automatycznie będzie poruszał się po okręgu opisanym.

Utwórz dla punktu P punkt L symetryczny względem środka okręgu opisanego i dla niego utwórz prostą rzutów l. Jakie jest położenie prostej p i l? Co zakreśla punkt R ich przecięcia? Poruszaj wolnym ruchem punkt P po okręgu opisanym na trójkącie ABC i obserwuj, jak zachowuje się prosta p rzutów utworzona dla punktu P.
W tym celu uaktywnij prostą p opcją "ślad" z paska narzędzi apletu a punkt P ocją "animacja" .

Można powiedzieć, że punkt P wygenerował całą rodzinę prostych Simsona.
Czy zauważyłeś, jaki kształt tworzą ślady tych prostych?
Czy zauważasz również, że na każdej z tych prostych można znaleźć punkt, w którym ta prosta jest styczna do pewnej krzywej niewidocznej na ekranie?
Powstaje krzywa zamknięta, podobna swym kształtem do trójkąta o wklęsłych bokach .
Krzywa, która jest styczna w każdym swym punkcie do jednej z prostych rodziny prostych tworzonych przez obracającą się prostą nosi nazwę obwiedni tych prostych . Obwiednią prostych Simsona jest hipocykloida Steinera.
Jacob Steiner był matematykiem szwajcarskim; zajmował się głównie geometrią, był twórcą geometrii rzutowej.

PROBLEM 13	ODCINKI ŁĄCZĄCE ŚRODKI KWADRATÓW ZBUDOWANYCH NA DWÓCH BOKACH TRÓJKĄTA ZE ŚRODKIEM TRZECIEGO.
	Utwórz dowolny trójkąt ABC i na jego bokach AC i BC skonstruuj kwadraty, których pozostałe dwa wierzchołki należą do zewnętrza trójkąta. Niech punkty K i L będą środkami symetrii tych kwadratów. Poprowadź symetralną odcinka KL. Niech punkt C' będzie punktem przecięcia tej symetralnej z bokiem AB trójkąta.
	Poruszaj dowolnie wierzchołkiem C i obserwuj, jakie położenie zajmuje punkt C'. Jakim kątem jest kąt KC'L? Jakie są długości odcinków KC' i LC'. Niech B' będzie środkiem odcinka AC, zaś A' środkiem odcinka BC. W jakiej relacji pozostają ze sobą trójkąty C'LA' oraz C'B'K?.
	Skonstruuj trzeci kwadrat na boku AB i znajdź jego środek M. Skonstruuj symetralne odcinków LM i KM i obserwuj punkty A' i B' ich przecięcia z bokami AC i CB w trakcie poruszania dowolnym wierzchołkiem trójkąta ABC. Sformułuj dostrzeżone własności w postaci twierdzenia.

PROBLEM 14

TWIERDZENIE ANDREASA HATZIPOLAKISA.

W styczniu 2003 roku grecki matematyk Andreas Hatzipolakis odkrył ciekawą własność trójkąta. Bądź i Ty na chwile odkrywcą tego ciekawego twierdzenia.

W dowolnym trójkącie poprowadzono środkowe AA', BB' i CC' . Dzielą one trójkąt na 6 mniejszych trójkątów.
Skonstruuj dla każdego z nich okrąg wpisany.

Zwróć uwagę na środki tych okręgów. Czy uważasz ich położenie za przypadkowe?

Spróbuj udowodnić odkrytą własność... będziesz być może pierwszy, który ją wykazał.

PROBLEM 15

TWIERDZENIE FLOOR VAN LAMOENA

W marcu 2003 roku holenderski matematyk Floor van Lamoen odkrył ciekawą własność trójkąta. Bądź i Ty na chwile odkrywcą tego ciekawego twierdzenia.

W dowolnym trójkącie poprowadź środkowe AA', BB' i CC' . Dzielą one trójkąt na 6 mniejszych trójkątów.
Skonstruuj dla każdego z nich okrąg opisany.

Zwróć uwagę na środki tych okręgów. Czy uważasz ich położenie za przypadkowe?

Spróbuj udowodnić odkrytą własność... może będziesz pierwszym, który ją wykazał.

PROBLEM 16	PUNKT TRÓJKĄTA RÓWNOBOCZNEGO
	W trójkącie równobocznym obrano dowolny punkt P i zmierzono jego odległości od boków trójkąta a następnie dodano je. Co się okazało? Popatrz na aplet obok - poruszaj punktem P i obserwuj tę sumę . Co dostrzegasz?
	Dobudujmy trzy trójkąty równoboczne tak jak w aplecie obok. Czym są teraz odległości punktu P od każdego z boków trójkąta? Odległości te są wysokościami trójkątów równobocznych, których jednym z wierzchołków jest punkt P. Interesuje nas suma tych odległości.
	Po przesunięciu "suwaków" do końca odcinków, na których się znajdują na możemy przesunąć trójkąty do pewnego szczególnego położenia. Okazuje się, że poszukiwana suma odległości punktu P od boków trójkąta ABC to.........(odkryj to sam!!!)

PROBLEM 17	ODCINKI NA JAKIE DZIELI DWUSIECZNA PRZECIWLEGŁY BOK TRÓJKĄTA
	W dowolnym trójkącie poprowadzono dwusieczną kąta ACB. Podzieliła ona bok AB trójkąta na odcinki AC i C'B. Odczytaj z konstrukcji stosunek długości odcinków AC' do AC, oraz AC do BC. Sformułuj odkryte twierdzenie.

PROBLEM 18
	W dowolnym czworokącie poprowadzono jego przekątne AC i BD. Na przekątnej DB skonstruowano prostokąt którego boki są przekątnymi czworokąta, na boku AB skonstruowano prostokąt, o wymiarach AB i CD, zaś na boku AD prostokąt o wymiarach AD i CB. Który z prostokątów ma największe pole? Jaka jest relacja pomiędzy polem tego prostokąta a sumą pól pozostałych prostokątów?