OD TANGRAMU DO TWIERDZENIA BOLYAYAI

Poniższy tangram zwany klasycznym, był już znany w Starożytności. Jego elementami jest pięć trójkątów prostokątnych, kwadrat i równoległobok.
Jak widać ich suma stanowi pewien kwadrat. Okazuje się, że można z nich utworzyć dwa przystające kwadraty, których boki mają długość połowy
przekątnej kwadratu bazowego. To jest właśnie zadanie dla czytelnika do wykonania ma poniższym aplecie CABRI II.

Wypełnij dwa małe kwadraty figurami, z których składa się duży kwadrat.
Figury możesz przesuwać chwytając za punkty koloru czarnego, zaś obracać chwytając za punkty koloru czerwonego

Doświadczenie to dowodzi, że istnieje takie rozcięcie dwóch przystających kwadratów na takie segmenty, z których można złożyć jeden, większy od nich kwadrat.

A czy można z dwóch kwadratów o różnych długościach boków złożyć trzeci, większy kwadrat?

Wypełnij kwadrat po prawej stronie segmentami, z których składają się dwa mniejsze kwadraty.
Figury możesz przesuwać chwytając za punkty koloru czarnego, zaś obracać chwytając za punkty koloru czerwonego

Jak widać, każde dwa kwadraty można rozciąć tak, by powstał jeden kwadrat o polu równym sumie pół tych kwadratów

Definicja:
Dwie figury o tych samych polach nazwiemy równoważnymi przez rozcięcie jeśli jedną z nich możemy tak rozciąć na mniejsze figury, aby przez sklejenie ich otrzymać druga figurę.

Tak więc wiemy już, że dwa kwadraty są zawsze równoważne przez rozcięcie z jednym kwadratem. Do czego ta wiedza jest nam potrzebna?
Otóż pojawia sie pytanie, czy jeśli dwa wielokąty maja to samo pole, to są równoważne przez rozcięcie? Odpowiedź jest pozytywna. Jak to udowodnić?

Każdy wielokąt można zawsze rozciąć na skończona ilość trójkątów. Każdy trójkąt natomiast jest równoważny przez rozcięcie z prostokątem. Ilustruje to poniższy aplet.

Poruszaj suwakiem i obserwuj, jak trójkąt można zamienić na równoważny mu prostokąt

Natomiast prostokąt można (ale nie zawsze) rozciąć tak, by uzyskać z niego kwadrat. Aby prostokąt o bokach "a" i "b" zamienić na równoważny mu kwadrat o poszukiwanym boku "x" musi zachodzić warunek:

Oznacza to, że bok kwadratu x = AD jest średnią geometryczną wielkości a = AB i b = CD. Jak to skonstruować, ilustruje poniższy aplet.

Czy zawsze można dla danego prostokąta utworzyć kwadrat o boku x? Tak, ale tylko wtedy gdy długość "c" nie przekroczy długości "b" - patrz - rysunki poniżej.

Pola trójkątów niebieskich i zielonych są równe (dlaczego?). Trójkąt różowy jest częścią wspólną prostokąta i kwadratu. Gdy jednak c>b, (rysunek po prawej stronie) wówczas trójkąt różowy nie mieści się w kwadracie i kwadrat wprawdzie ma pole równe polu prostokąta, ale nie da się go rozciąć i złożyć z niego kwadratu.
Dla jakich więc prostokątów istnieje kwadrat mu równoważny przez rozcięcie? Poszukajmy warunków spełniających istnienie tego kwadratu.

Udowodniliśmy więc, że prostokąt można zamienić na równoważny mu kwadrat, jeśli iloraz długości jego boków nie przekroczy liczby 4. Fakt ten można sprawdzić na aplecie zamieszczonym obok.

Poruszaj punktem D i obserwuj, jaki jest iloraz |AB| / |CD|, gdy część odcinka MB znajdzie się poza kwadratem.

Jeśli prostokąt nie spełnia tego warunku, rozcinamy go na dwa prostokąty, by wzrosła szerokość a zmalała długość. Wówczas warunek a/b jest mniejszy niż 4. Tak więc każdy wielokąt możemy doprowadzić przez rozcięcie na kwadrat o tym samym polu. Zatem jeśli dwa wielokąty mają równe pola, to można je rozciąć i skleić z rozciętych części ten sam kwadrat.

Opisane powyżej fakty odkryli: Farkas Bolyai (ojciec słynnego Janosa Bolyai - twórcy geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej) i Paul Gerwien w latach 1832-1833 i do dziś znane są pod nazwą twierdzenia B-G: