KONSTRUOWANIE INTERAKTYWNYCH RZUTÓW

WIELOŚCIANÓW W GEOGEBRZE

 

WSTĘP


Konstrukcje rzutów wielościanów w aksonometrii, które stworzyli twórcy GeoGebry, są oparte na tzw. kątach Eulera. Rzecz polega na tym, że jeśli jakiś obiekt umieścimy w układzie współrzędnych, to każdy jego obrót możemy rozłożyć na trzy kolejne obroty wokół każdej z trzech osi o kąty zwane kątami Eulera. Jest to znany sposób na stworzenie obrazu trójwymiarowego na kartce papieru, czy ekranie komputera. Dla programu Cabri opisali go już matematycy francuscy w czasopiśmie "abraCAdaBRI  w 1995 roku. W tej metodzie współrzędne każdego punktu po obrocie można wyrazić za pomocą jego początkowych współrzędnych i macierzy obrotu. Geometrycznie robi się to nieco inaczej. Na każdym z  trzech okręgów lub na odcinku zwanym suwakiem porusza się punkt odpowiedzialny za obrót wokół wybranej osi o odpowiedni kąt Eulera. W ten sposób obrotem rzutu bryły sterujemy trzema punktami (suwakami).

W zasadzie marzeniem nauczycieli i uczniów byłby obraz bryły oglądamy w perspektywie, co nie łatwe do zrealizowania  na dynamicznym ekranie komputera. Jednak w taki sposób nasze i uczniów oczy postrzegają świat. Przy tym wszystkim chcielibyśmy jeszcze, aby uczeń mógł sprawnie obsługiwać taki program za pomocą prostych narzędzi geometrii, czyli cyrklem i linijką.  Udało się to  zespołowi Cabrilog z Uniwersytetu w Grenoble który w 2004 roku stworzył program w pełni realizujący te marzenia. Jest nim Cabri 3D.
Czy można  realizować lekcje stereometrii w rzutach aksonometrycznych z użyciem GeoGebry metodą prostszą niż proponowaną przez twórców Geogebry?
Chciałbym przedstawić tu moją autorską metodę, którą od 1995 roku stosowali nauczyciele w programie Cabri II a jeszcze wcześniej Cabri 1.7.
Metodę tę można zaadoptować również w programie GeoGebry.

SZEŚCIAN DYNAMICZNY

Polskie podręczniki do matematyki kreślą obrazy trójwymiarowe w rzutach aksonometrycznych, więc nie stoi nic na przeszkodzie, by takie obrazy (do tego jeszcze dynamiczne) stworzyć na komputerze. Tak się też stało w 1995 roku, gdy przyszedł mi pomysł stworzenia trzech makrokonstrukcji, na bazie których zrealizowałem rzut dynamiczny sześcianu na ekranie Cabri jeszcze wówczas wersji 1.7. To była czysta geometria linijki i cyrkla! Pozwalała ona obracać rzut bryły wokół osi Z i Y. Takie dwa obroty na ekranie i żywe modele  w ręku wystarczają, by uczeń ćwiczył  swoją wyobraźnię przestrzenną rozumiał, co to znaczy widzieć trzeci wymiar na płaskim ekranie komputera.

Teraz, gdy dysponujemy GeoGebrą i rzutem tego dynamicznego sześcianu, możemy w niezwykle prosty i aktywny sposób kreować wszystkie inne wielościany, nawet wklęsłe. Jak to zrobić?

 

CZWOROŚCIAN I OŚMIOŚCIAN FOREMNY

Rozpoczynamy pracę od sześcianu, który prezentuje gif animowany zamieszczony obok. Nie będę opisywał dokładnie sposobu konstruowania tego sześcianu. Wspomnę tylko, ze opiera się ona na trzech odpowiednio przygotowanych makrokonstrukcjach. Rzut tego sześcianu może być bazą  do konstruowania całego świata stereometrii.
Zacznijmy od wielościanów foremnych, zwanych platońskimi.

 

Czworościan foremny i ośmiościan foremny konstruujemy na jego bazie za pomocą odcinków (jeśli chcemy uzyskać model krawędziowy) lub wielokątów.
Przecież wierzchołki ośmiościanu foremnego są środkami ścian sześcianu, a krawędzie czworościanu foremnego są przekątnymi jego ścian. Gdy zechcemy stworzyć drugi czworościan umieszczony w ten sposób w sześcianie uzyskamy stellę octangullę - stelację ośmiościanu foremnego. Poniższe gify prezentują te wielościany.

 

 

DWUDZIESTOŚCIAN I DWUNASTOŚCIAN FOREMNY

Bardziej skomplikowane wielościany tworzymy trochę inaczej. Na bazie sześcianu odpowiednio pomniejszonego konstruujemy trzy jednostkowe wersory osi układu XYZ Najlepiej obrać początek układu w środku sześcianu, a końce wersorów w środkach jego trzech ścian. Gdy pomnożymy każdy z wersorów przez liczbę, to otrzymamy trzy prostopadłe wektory, z których możemy zbudować prostopadłościan.  Ósmy jego wierzchołek  to punkt, którego współrzędnymi są liczby, przez które mnożyliśmy każdy wersor. Tak przygotowany plik zapisujemy pod nazwą Pxyz.ggb. Na bazie tej konstrukcji tworzymy makrokonstrukcję Pxyz.ggt , która pozwala skonstruować w 3D każdy punkt (jego rzut na ekranie), którego współrzędne są nam znane.

Aby skonstruować w 3D punkt o zadanych współrzędnych, wykonujemy następujący ciąg czynności:

 

·         otwieramy przygotowany  plik PXYZ.ggb,

·         otwieramy w nim makrokonstrukcję  PXYZ.ggt,

·         wskazujemy kolejno punkty O, I, J, K,

·        po wprowadzeniu tych punktów pojawiają się kolejno na ekranie trzy pola wprowadzania do których wpisujemy trzy współrzędne konstruowanego wierzchołka wielościanu potwierdzając za każdym razem wciśnięciem klawisza ENTER,

·        po wpisaniu trzeciej współrzędnej na ekranie GeoGebry otrzymamy konstruowany wierzchołek.

 

Po skonstruowaniu wymaganych wierzchołków wielościanu kreślimy odpowiednie wielokąty – jego ściany. Wielościan ten może być nawet wklęsły.

Gif animowany umieszczony obok ilustruje opisany sposób konstruowania trójkątnej ściany jakiegoś wielościanu.

Wielościany można obracać wokół dwóch osi – pionowej Z przy pomocy punktu O1 oraz poziomej osi Y – przy pomocy punktu O2. Wielościan możemy powiększać i pomniejszać poruszając punktem „skala”.

 

 

 

 

Spróbujmy skonstruować w ten sposób dwudziestościan foremny. Wystarczy znać współrzędne jego wierzchołków. Przypomnijmy, że są one  wierzchołkami trzech złotych prostokątów, wzajemnie prostopadłych, o wspólnym środku położonym w początku układu współrzędnych.
 

Oto tabela współrzędnych wierzchołków
złotych prostokątów, przedstawionych obok.
na gifie animowanym

 

 

 

 

Z tabeli można łatwo odczytać, że długość krótszej krawędzi każdego prostokąta wynosi 2, a dłuższej 2F, gdzie F jest złotą liczbą. Okazuje się, że jeśli utworzymy 12 trójkątów, których dwa wierzchołki należą do wybranego prostokąta a trzeci jest najbliższym wierzchołkiem innego prostokąta, oraz 8 trójkątów, których każdy wierzchołek należy do innego prostokąta, to wszystkie te trójkąty są równoboczne. Ich suma daje ściany dwudziestościanu foremnego. Złotą liczbę można wprowadzić jako wartość , lub jej przybliżoną wartość 1.618, co nie umniejsza wyglądowi bryły.

 

 

 

WIELOŚCIAN JESSENA

Gdyby w dwudziestościanie foremnym usunąć jedną z krawędzi, wspólną dla dwóch sąsiednich trójkątnych ścian i połączyć wierzchołki tych trójkątów nie należące do tej krawędzi, to rozpoczniemy w ten sposób konstrukcję wielościanu Borge Jessena. Usuwamy kolejno dwie krawędzie prostopadłe do wcześniej usuniętej. Kontynuując tę czynność usuwamy łącznie sześć krawędzi otrzymując sześć wgłębień prostopadłych do siebie - stąd nazwa - wielościan ortogonalny Jessena. Ciekawe jest, że ma on tyle samo ścian ile krawędzi i wierzchołków. Niestety ze względu na jego wklęsłość, nie prezentuje się on najokazalej w GeoGebrze. Lepszą jego wizualizacje przedstawia program Cabri 3D na ostatnim rysunku u góry.  

 

Kolejny wielościan symetrii dwudziestościennej to dwunastościan foremny. Jest on dualny do dwudziestościanu foremnego, co oznacza, że jego wierzchołki są środkami ciężkości ścian dwudziestościanu. Każda współrzędna wierzchołka dwunastościanu foremnego jest więc średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych trzech wierzchołków ściany dwudziestościanu. Można je więc łatwo obliczyć. Tabela 2 przedstawia kolejno w kolumnach: nazwę wierzchołka, numery wierzchołków ściany dwudziestościanu na którym powstaje wierzchołek dwunastościanu i jego współrzędne.

Można zauważyć, że współrzędne 12 wierzchołków to takie trójki liczb, z których jedna jest zawsze 0, druga jest wybrana ze zbioru  {F, -F}, a trzecia ze zbioru {2F+1, –(2F+1)}. Zatem trójek tych jest 3×2×2=12

Osiem kolejnych, to trójki liczb utworzonych ze zbioru {F+1, -(F+1)} czyli trójelementowe wariacje z powtórzeniami na zbiorze dwuelementowym. Jest ich zatem 23=8.

Wprowadzając wyznaczone współrzędne do konstrukcji PXYZ.ggb otrzymamy dwunastościan foremny. Warto jednak wystartować z konstrukcji trzech złotych prostokątów, gdyż widać, gdzie pojawiają się kolejne wierzchołki dwunastościanu

.

 

SZEŚCIAN DIAGONALNY

Najbardziej znany z wielościanów sześcian oglądamy zazwyczaj kładąc go na jednej z jego ścian. Interesujący jest jednak jego rzut w którym główna przekątna ustawiona jest w pionie. Taki rzut sześcianu nazwałem diagonalnym (Patrz „Stereometria z Cabri II” – wydawnictwo Math-Comp-Educ 1995 r).  Sześcianem w takim położeniu zajmował się niegdyś Hugon Steinhaus, proponując w swoim „Kalejdoskopie matematycznym” kilka ćwiczeń z jego „żywym” modelem. Warto, by uczniowie wzięli do ręki model  sześcianu i usytuowali go położeniu diagonalnym.

Zapytajmy uczniów, ile okręgów wykreśli sześć wierzchołków (oprócz górnego i dolnego) tak ułożonego sześcianu w obrocie wokół jego pionowej przekątnej. Czy uczniowie obracając sześcian odnajdą poprawną odpowiedź? Gdyby wykonać w Geogebrze (albo w Cabri II Plus lub Cabri 3D) wirtualny model obracającego się sześcianu z pozostawieniem śladu tych punktów uczniowie nie mieliby problemów z odpowiedzią. Zrozumieliby wówczas, że okręgi te leżą w dwóch płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu.

Bardziej spostrzegawczym uczniom mogłoby się ponadto wydawać, że płaszczyzny te dzielą pionową przekątną na trzy równe odcinki, co faktycznie jest prawdą. Prosty rachunek może upewnić w tym przekonaniu nawet ucznia gimnazjum.

 


 

Jeśli by tak było, to wystarczy pokazać, że wysokość h=MD czworościanu ABCD stanowi 1/3 długości przekątnej całego sześcianu.

Objętość tego czworościanu można obliczyć na dwa sposoby:

·         przyjmując za jego podstawę trójkąt ABC,

·         przyjmując za podstawę trójkąt BCD.

Przyjmijmy za „a” długość krawędzi sześcianu. W pierwszym przypadku:

Zaś w drugim:

Porównując oba wyrażenia otrzymamy: , co dowodzi postawioną tezę.

 

Ale jak skonstruować w Geogebrze sześcian w pozycji diagonalnej? Wystarczy wyznaczyć jego współrzędne.

Umożliwi nam w tym spojrzenie na sześcian diagonalny w dwóch rzutach: z przodu i z góry oraz informacja udowodniona przed chwilą.

Patrząc z przodu widać, że trzy wierzchołki U, V, W naszej bryły ma współrzędną na osi Z równą albo 1/3, a L, M i P współrzędną 2/3.

Patrząc z góry widać natomiast, że trzy górne wierzchołki L, M i P  układają się w trójkąt równoboczny, a trzy dolne U, V, W w jego odbicie w symetrii środkowej.

Przyjmując długość krawędzi sześcianu równą a i zwrot dodatni osi OX w kierunku punktu U współrzędne wierzchołków przyjmą wartości:

 

 

 

Teraz już tylko wystarczy podstawić liczby po wywołaniu odpowiedniego pliku i makrokonstrukcji i można eksperymentować z sześcianem diagonalnym.

 

POWIERZCHNIE PROSTOKREŚLNE

Niezwykle łatwo można pokazać w Geogebrze sposób tworzenia powierzchni prostokreślnych, w tym stożkowych i walcowych.

Połóżmy końce pewnego odcinka AB na krawędziach górnej i dolnej ściany sześcianu. Po wprowadzeniu sześcianu w obrót wokół osi Z możemy zapytać się, jaka powierzchnię wykreśli ten odcinek. Odpowiedź na to pytanie nie jest prosta. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że będzie to stożek. Tymczasem kilka prób układania końców odcinka w różnych miejscach przekonuje użytkownika programu GeoGebra że ślad, jako pozostawia odcinek przypomina coś, co uczniowie nazywają „klepsydrą”. Powierzchnia ta nosi w matematyce nazwę hiperboloidy jednopowłokowej. Widzieliśmy ją już w trakcie obracania sześcianu diagonalnego.

W takim razie, jak ustawić odcinek AB, by jego ślad wykreślił stożek? I tu propozycja, jaka pada ze strony uczniów to postawienie końców odcinka symetrycznie względem środka sześcianu. Jest to dobra odpowiedź, ale nie jedyna. Wystarczy bowiem przesunąć jeden z końców nieco w górę, lub w dół i też widać na ekranie stożek.

Jest to okazja ku temu, by pokazać uczniom, na czym polega ogólna zasada  budowania powierzchni stożkowej. Powierzchnia ta powstaje w wyniku poruszania się jednym z końców odcinka po dowolnej krzywej (a zatem również po okręgu) z zachowaniem jednej zasady: jeden z punktów odcinka musi być stały (unieruchomiony) w trakcie jego ruchu. Ten punkt to wierzchołek powierzchni stożkowej. Poniższe gify ilustrują wspomniane powierzchnie prostokreślne wykonane narzędziem ślad w GeoGebrze.

 

 

Gdyby narzędzie Miejsce Geometryczne działało w Geogebrze dla odcinka, prostej i okręgu, to można by pokazać ciągłe przejście pomiędzy tymi trzema powierzchniami. 

W Cabri miejsce geometryczne istnieje zarówno dla odcinka, prostej, okręgu i dowolnego wielokąta. To narzędzie w Cabri II Plus umożliwia płynną obserwację zmieniającego się kształtu powierzchni prostokreślnej utworzonej przez odcinek, w którym przemieszczamy jeden z jego końców. Uczeń może wówczas dostrzec warunki, jakie musi on spełniać, by powierzchnia była  stożkiem, walcem lub hiperboloidą jednopowłokową.  Taka konstrukcja ma daleko idące walory dydaktyczne.  Poniższy gif animowany ilustruje te powierzchnie wykonane w Cabri II plus.


 

KRÓLIK W KLATCE
Na koniec mała zagadka.
Wyobraźmy sobie królika zamkniętego w sześciennym pudełku które zabezpieczono przed przypadkową ucieczką królika siatką o kwadratowych oczkach, nałożoną na górną ścianę pudełka.
Królik spojrzał w górę i bardzo się zmartwił, gdyż poczuł się jak w więzieniu - nad nim było widać jedynie kwadratowe kratki.
Na szczęście pojawił się mały Piotruś i zaproponował króliczkowi trochę lepszy widok. Podniósł w dwóch wierzchołkach elastyczną siatkę tworząc ciekawą powierzchnię, którą matematycy nazywają paraboloidą hiperboliczną. Piotruś był pewien, że teraz króliczek nie będzie czuł się jak więzień, bowiem zobaczy jakieś inne kształty oczek siatki.
Sprawdź na poniższych gifach animowanych, czy Piotruś miał rację.