DWUNASTOŚCIAN I DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY

Wbrew pozorom i te dwa wielościany foremne są ściśle związane z sześcianem i pozostałymi bryłami platońskimi.
Jednak najważniejszą ideą, na której są one zbudowane jest złota liczba. Przypomnijmy sobie, że istnieje złoty prostokąt. Długość jego dłuższego boku ma się tak do długości krótszego, jak ich suma do dłuższego. Wytnij ze sztywnego kartonu trzy takie złote prostokąty i natnij je tak, jak na rysunku poniżej, by przepleść je ze sobą tak,  by stanowiły "przestrzenny układ współrzędnych" przedstawiony na aplecie poniżej.

Okazuje się, że wszystkie trójkąty utworzone z wierzchołków należących do odpowiednich wierzchołków takiego układu trzech złotych prostokątów są równoboczne i przystające do siebie. Można  utworzyć ich dokładnie 20.
Tym sposobem otrzymaliśmy wielościan foremny o 20 ścianach czyli dwudziestościan foremny.

poniżej przestawione są współrzędne wierzchołków dwudziestościanu, zilustrowanego  na rysunku obok. Symbol  F oznacza wartość złotej liczby.

Przypominając sobie o dualności dwóch wielościanów aż korci, by połączyć ze sobą środki ciężkości trójkątów będących jego ścianami
i zbadać, jaka bryła z tego powstanie. Każda współrzędna środka ciężkości trójkąta jest 1/3 sumy odpowiednich współrzędnych jego wierzchołków. Tak więc można łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołków tego wielościanu dualnego. Widać od razu, że ma on ich tyle, ile  miał ścian dwudziestościan foremny, przy tej samej ilości krawędzi (30). Ze wzoru Eulera wynika więc, że skoro W + 20  - 30 = 2, to wierzchołków w poszukiwanym wielościanie będzie dokładnie 12. Tak więc otrzymaliśmy ostatnią bryłę platońską  - dwunastościan foremny. 

 Podaję współrzędne wierzchołków dwunastościanu foremnego zbudowanego na bazie przez dobudowanie na jego ścianach odpowiednich "daszków": Symbol F oznacza złotą liczbę, zaś f to tzw. mała złota liczba - jest ona odwrotnością złotej i również o 1 mniejsza od niej.