Pęd ciała w teorii względności.

Masa relatywistyczna.

Druga zasada dynamiki w fizyce relatywistycznej.

Przykład: Ruch pod wpływem stałej siły.


Pęd ciała w teorii względności.

Możemy przyjąć, że wzór:

opisuje wektor pędu ciała. Przedstawimy na wykresie zależność pędu od prędkości ciała (liczonej w stosunku do prędkości światła). Pęd podany jest w jednostkach umownych.

Gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła, wartość pędu zmierza do nieskończoności.

POCZĄTEK

Masa relatywistyczna.

Porównując wzór na pęd ze wzorem klasycznym:

możemy zauważyć podobieństwo. Różnica polega na zachowaniu się masy - według fizyki klasycznej masa ciała pozostawała stała, w STW masa rośnie wraz z prędkością i można ją opisać wzorem (tzw. masa relatywistyczna):

We wzorach tych m0 oznacza tzw. masę spoczynkową, czyli masę jaką ciało posiada gdy jest nieruchome.

Wykres przedstawia zależność masy (w stosunku do masy spoczynkowej) od prędkości ciała (podanej w stosunku do prędkości światła). Ze wzrostem prędkości masa rośnie, więc zwiększa się bezwładność ciała, a także podlega ono silniejszemu oddziaływaniu grawitacyjnemu. Gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła, jego masa rośnie do nieskończoności.

Efekt wzrostu bezwładności wraz ze wzrostem prędkością ciała wynikał z opublikowanej w 1905 roku pracy Einsteina. Po raz pierwszy efekt ten potwierdzono doświadczalnie w roku 1908.

Efekt wzrostu masy wraz z prędkością obserwuje się w wielu akceleratorach, przyspieszających cząstki do prędkości często bliskich prędkości światła. W cyklotronach cząstki są zakrzywiane przez pole magnetyczne, trafiając wielokrotnie w obszar przyspieszającego je pola elektrycznego. Jeżeli odpowiednio dobierze się częstotliwość zmian pola elektrycznego (tzw. częstotliwość cyklotronowa) to pole elektryczne będzie zawsze przyspieszać cząstki. Częstotliwość cyklotronowa dana jest wzorem:

gdzie q - ładunek cząstek, m - ich masa, B - indukcja pola magnetycznego. Z zapisanego wzoru wynika, że częstotliwość ta nie zależy od prędkości cząstek, co rzeczywiście potwierdza się przy niewielkich prędkościach. Jednak przy znacznych prędkościach cząstki zaczynają się spóźniać, gdyż zwiększa się w sposób widoczny ich masa. Problem ten rozwiązano w synchrotronach zmieniając w trakcie ruchu cząstek częstotliwość zmian pola elektrycznego lub modyfikując wartość indukcji pola magnetycznego. W działaniu akceleratorów efekty relatywistyczne są bardzo istotne i należy je uwzględniać przy ich projektowaniu.

POCZĄTEK

Druga zasada dynamiki w fizyce relatywistycznej.

Albert Einstein formułując teorię względności unikał odwoływania się do pojęcia siły twierdząc, że nie ma ono tak przejrzystego znaczenia, jak w fizyce klasycznej (posługiwał się raczej opisem polowym zjawisk). Pomimo to można się pokusić o opis ruchu pod działaniem siły.

Ponieważ w teorii względności masa ciała zmienia się z prędkością, drugą zasadę dynamiki możemy stosować tylko w postaci uogólnionej:

lub zapisując w postaci pochodnej:

POCZĄTEK

Przykład. Ruch pod wpływem stałej siły.

Rozważmy ruch ciała pod wpływem siły o stałej wartości, działającej na początkowo spoczywające ciało. Z drugiej zasady dynamiki wynika, że jego pęd będzie proporcjonalny do czasu.

Przekształcając wyrażenie otrzymujemy:

Wyznaczamy następnie prędkość.

Możemy przedstawić tą zależność prędkości od czasu na wykresie. Na osi pionowej odłożymy stosunek prędkości ciała do prędkości światła, na osi poziomej czas w jednostkach umownych.

Początkowo, dla małych wartości czasu, ciało wykonuje ruch nieomal jednostajnie przyspieszony, gdyż prędkość rośnie jednostajnie (we wzorze m02>>F2t2/c2 i pod pierwiastkiem możemy zaniedbać drugie wyrażenie, uzyskując v=Ft/m0). Po bardzo długim czasie prędkość ciała zbliża się do prędkości światła, której nie może osiągnąć ani przekroczyć (we wzorze m02<<F2t2/c2 i pod pierwiastkiem możemy zaniedbać pierwsze wyrażenie, uzyskując wynik v=c).

Widać stąd, że prędkość światła jest prędkością graniczną, której żadna cząstka materialna nie może osiągnąć ani przekroczyć.

Patrz też: zadanie 9, zadanie 10.

POCZĄTEK