Granica ciągu

 

Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli dla każdej liczby dodatniej e istnieje taka liczba k, że dla każdego n >k zachodzi nierówność |an - g|<e  (tzn. dla każdego e > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) należą do przedziału (g - e; g + e)).
Oznaczamy lub an® g
 

Zapis symboliczny definicji granicy ciągu

Ű |an - g|< e 
   
 
Jeżeli liczba g jest granicą  ciągu (an), to mówimy również, że

- ciąg (an) dąży do g

- ciąg (an) ma granicę skończoną,( właściwą).

   
Ciąg, który ma granicę skończoną, nazywamy ciągiem zbieżnym.
Ciąg,  który nie jest zbieżny,  nazywamy rozbieżnym.
Zwrot prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza wszystkie wyrazy ciągu oprócz pewnej  skończonej ich liczby.
   
 

   
Każdy ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę.
   
Ciąg stały, czyli ciąg o wyrazie ogólnym an = c, gdzie c Î R, jest zbieżny i jego granicą jest liczba c.
   

Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg (bn) otrzymany z ciągu (an) przez usunięcie lub dołączenie lub zamianę dowolnej, ale skończonej liczby wyrazów, jest również zbieżny do liczby g.

   
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
   
Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i to
 
(an+bn) = g1 + g2
(an - bn) = g1 - g2
(anbn) = g1g2
 
gdy bn ą 0 i g2 ą 0
   
Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne
  oraz istnieje liczba k taka, że dla każdego n > k zachodzą  nierówności  an <cn< bn, to ciąg (cn) jest zbieżny i
 

Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny.
   
Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.
   
Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +Ą, jeśli dla każdej liczby d istnieje taka liczba k, że dla każdego n > k zachodzi nierówność an> d (tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są większe od dowolnie wybranej liczby d).
 
Oznaczamy 
 
Ű an > d
   
Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do - Ą, jeśli dla każdej liczby m istnieje taka liczba k, że dla każdego n > k zachodzi nierówność an < m (tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są mniejsze od dowolnie wybranej liczby m).
 
Oznaczamy
 
Ű an > m
   
O ciągu rozbieżnym do +Ą= (lub do -Ą) mówimy, że ma granicę niewłaściwą.
   
Jeśli (lub-Ą) Ů aną0 Ţ =0
   
Jeśli Ů an>0 Ţ = +Ą
   
Jeśli Ů an>0 Ţ = -Ą
   
Granice niektórych ciągów
   
 
1.    
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.