Szeregi. Szereg geometryczny

 

Niech (an) będzie ciągiem liczbowym.
  Wyrażenie  a1 + a2 + a3 + ... + an + ...    nazywamy szeregiem liczbowym (szeregiem nieskończonym) lub krótko szeregiem.
  Liczby a1, a2, a3,..., an... nazywamy wyrazami szeregu a1+ a2 + a3 + ... + an + ... .
   
 
Wyrażenie a1 + a2 + a3 + ... + an + ... możemy zapisać krócej:
  Niech dany będzie szereg a1 + a2 + a3 +         .. + an +......
  Ciąg (Sn)taki, że
  S1=a1
 

S2= a1+a2

  S3= a1+a2+a3
  .
  .
 

Sn= a1 + a2 + a3+ ....+ an

   
 
 Zatem dla każdego n Î N+ mamy
  Sn nazywamy n-tą sumą częściową szeregu.
   
Niech dany będzie szereg a1 + a2 + a3 + ... + an + ... . Jeżeli ciąg sum częściowych (Sn) szeregu ma granicę skończoną S, to mówimy, że dany szereg jest zbieżny i ma sumę S
  Piszemy
 
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = S    lub krócej
  W zapisie symbolicznym:
 
 a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = S  Ű
 
 
Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.
   
  Jeżeli ciąg (an) jest geometryczny, to szereg   a1+ a2 + a3 + ... + an + ... nazywamy szeregiem geometrycznym.
  Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q ma postać:
 
a1+ a1q + a1q2 + a1q3 + ... + anqn + ... zapis równoważny
   
  Ciąg sum częściowych (Sn) szeregu geometrycznego:
  S1=a1
  S2 = a1+ a1q, 
  S3 = a1+ a1q + a1q2
    .
    .
    .
 

 Sn = a1+ a1q + a1q2+ ... + anqn

    .
    .
    .
n-ta suma częściowa szeregu geometrycznego:
 
Sn a1+ a1q + a1q2+ ... + anqn   zapis równoważny
   
Szereg geometryczny a1+ a1q + a1q2+ ... + anqn  +...  jest zbieżny i ma sumę S Ű gdy a1= 0 lub q Î (-1,1). Wówczas
  S = 0  gdy a1= 0
 
gdy q Î (-1,1)
 

Jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę S, to mówimy również, że S jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Warunek  q Î (-1; 1) możemy zapisać również w następujący sposób:

|q|< 1 albo -1 <q< 1

 

Sumy niektórych szeregów

   
 
szereg harmoniczny jest rozbieżny do
 
szereg anharmoniczny
wzór Leibniza