Animacja poniższa pokazuje, w jaki sposób można otrzymać wszystkie jedenaście siatek sześcianu z siatki początkowej.
W zwiazku z tym otwiera się kilka problemów. Przez siatkę sześcianu rozumiemy figurę płaską, w jednym kawałku, powstałą z sześcianu przez rozcięcie niektórych z jego krawędzi i wyprostowanie otrzymanej powierzchni na płaszczyźnie - żądamy przy tym, by każdy kwadrat siatki (była ściana sześcianu) miał wspólny bok z co najmniej jednym innym kwadratem siatki. Dwie siatki sześcianu uważamy za jednakowe, gdy można jedną z nich (przez obrót, przesunięcie czy symetrie nałożyć na drugą.
Problem 1. Czy sześcian ma tylko 11 siatek? Należy to udowodnić lub znaleźć dwunastą siatkę.
Wszystkie siatki uzyskaliśmy z siatki 1 stosując ruchy elementarne. Ruchem elementarnym nazywamy przecięcie siatki wzdłuż jednej z krawędzi i obrócenie jednej z części siatki względem jednego z końców tej krawędzi tak, by skleiła się ona z drugą częścią siatki inną krawędzią (z tego samego wierzchołka).
Łatwo zauważyć, że jeśli siatkę n można uzyskać przez ruch elementarny z siatki k , to siatkę k można uzyskać przez ruch elementarny z siatki n . Pozwala to mówić o siatkach sąsiednich, to znaczy takich,
że jedną z nich można otrzymać z drugiej przez jeden ruch elementarny.
Problem 2. Na diagramie zaznaczone są. ciągłymi liniami wskazane poprzednio sąsiedztwa siatek. Można wykazać, że nie są to wszystkie sąsiedztwa - są jeszcze i te, które zostały zaznaczone liniami przerywanymi. Znaleźć wszystkie możliwe sąsiedztwa siatek.
Każda z narysowanych siatek ma 5 nie rozciętych krawędzi. Oznacza to, że rozcięto 7 krawędzi.
Problem 3. Czy każda siatka musi mieć akurat 5 nie rozciętych krawedzi ?
Rozcięte krawędzie tworzą na sześcianie siedmioodcinkowe drzewko. Drzewko to układ odcinków
w jednym kawałku - taki, że dwa odcinki mogą mieć wspólny co najwyżej koniec. Rysunek przedstawia 11 takich drzewek utworzonych z krawędzi sześcianu. Ponieważ drzewko dociera do każdego wierzchołka i nie tworzy żadnej łamanej zamkniętej, więc po ich rozcięciu otrzymamy siatki.
QUIZ : Zidentyfikować, które drzewko odpowiada której siatce.
