środa 24 lipca 2019 imieniny Kingi i Krystyny 1979 - Zmarł Edward Stachura
Do końca roku pozostało: 0 dni
Matematyka
Interaktywna mapa szkół
Język polski Historia WOS Sztuka (plastyka i muzyka) Języki obce Religia i etyka
Matematyka Fizyka i astronomia Chemia Biologia Przyroda Geografia Technika Informatyka
Przedmioty zawodowe WF Ścieżki edukacyjne Wychowanie przedszkolne Nauczanie zintegrowane Więcej
Wielokąty równoboczne i foremność

Wielokąty równoboczne i foremność

Trójkąt równoboczny jest foremny, to znaczy ma również wszystkie kąty równe.
Czworokąt równoboczny, czyli romb, nie musi być foremny, tym bardziej wielokąty równoboczne o większej liczbie boków.

A czy warunek, by wielokąt równoboczny był opisany na okręgu, coś tu zmienia? Dla trzech boków nic, bo każdy trójkąt jest opisany na jakimś okręgu. Dla czworokąta nic nie poprawia, bo każdy romb też jest opisany na jakimś okręgu. A dla pięciokąta?

Kilka prób narysowania pięciokąta równobocznego opisanego na okręgu przekonuje nas, że chyba tu jest jakoś inaczej niż z czworokątami – wygląda na to, że równoboczny pięciokąt opisany na okręgu foremny być musi. I tak jest w istocie. Nawet więcej:

nieparzystokąt równoboczny opisany na okręgu jest foremny.
I nic więcej: dla każdego parzystego n > 2 istnieje n-kąt równoboczny opisany na okręgu i nieforemny.

Aby tego dowieść, dogodne jest wykazać w ogólnym przypadku to, co widać na rysunku rombu:
Jeśli kolejne boki AB i CD wielokąta równobocznego opisanego na okręgu styczne są do niego w punktach P i Q, to PB = BQ + AP =QC.

Istotnie, pierwsza równość wynika stąd, że figura złożona z okręgu i dwóch stycznych do niego na oś symetrii – prostą łączącą punkt ich przecięcia ze środkiem okręgu; druga równość to wynik odjęcia równych odcinków z pierwszej równości od, z założenia, równych boków.

Wyobraźmy sobie teraz wielokąt równoboczny, nieforemny i opisany na okręgu. Wobec nieforemności przynajmniej jeden bok nie jest styczny do okręgu w swoim środku. Rozpocznijmy od niego wędrówkę po obwodzie wielokąta – spotykać będziemy kolejneo odcinki wyznaczone przez wierzchołki i punkty styczności tylko dwóch długości a i b i to w sekwencji (zacznijmy od wierzchołka): abbaabba... Gdyby liczba par była nieparzysta, to na końcu byłoby ...abbaab, co nie zgadza się z udowodnioną przed chwilą prawidłowością. Sprzeczność, ponieważ wielokąt równoboczny można jednak pisać na okręgu, więc musimy albo przypuszczenie, że nie jest on foremny, albo przypuszczenie, że jest on nieparzystokątem.

Dowodzi to pierwszego wyróżnionego kursywą stwierdzenia. Dowód drugiego musi być konstruktywny, ale nie jest trudny i zostawiamy go Czytelnikom.





Autor: Marek KORDOS
Komentarze + Dodaj komentarz
Zapraszamy do wyrażania opinii, redakcja portalu Interklasa.
 
Nasi partnerzy:
MEN SchoolNet eTwinning Związek Powiatów Polskich PCSS
Cisco OFEK Przyjazna Szkoła Fundacja Junior FIO CEO
Parafiada net PR Orange IMAX Cinema City WSP TWP
IMAGE PPI-ETC ArcaVir Master Solution Device


Projekt Polski Portal Edukacyjny Interkl@sa
powstał i był realizowany w latach 2000-2011 dzięki wsparciu
Polsko-Amerykańskiej Fundacji Wolności.

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej "Polityce Prywatności".


Pytania i uwagi: portal@interklasa.pl

Regulamin portalu /  Polityka prywatności /  Ochrona własności intelektualnej /  Zasady korzystania / 
Wyłączenie odpowiedzialności /  Biuro prasowe /  Zasady współpracy /  Redakcja /  Kontakt

Przejdź na stronę ucznia Przejdź na stronę nauczyciela Przejdź na stronę rodzica Certyfikat sieciaki.pl Przyjazna strona kidprotect.pl