niedziela 25 sierpnia 2019 imieniny Ludwika i Luizy 1900 - Zmarł Friedrich Nietzsche
Do końca roku pozostało: 0 dni
Matematyka
Interaktywna mapa szkół
Język polski Historia WOS Sztuka (plastyka i muzyka) Języki obce Religia i etyka
Matematyka Fizyka i astronomia Chemia Biologia Przyroda Geografia Technika Informatyka
Przedmioty zawodowe WF Ścieżki edukacyjne Wychowanie przedszkolne Nauczanie zintegrowane Więcej
Tajemnicza liczba

Tajemnicza liczba

Czy to liczba wymierna, czy nie? Nie widać prostego sposobu, aby się o tym przekonać. A może prawdziwe jest twierdzenie, że

(*) liczba niewymierna podniesiona do niewymiernej potęgi jest liczbą niewymierną

(które to twierdzenie sprawę by załatwiało)?

Okazuje się, że nie. I w odkryciu tego pomoże nam tytułowa liczba, mimo że nie wiemy, jak z nią jest. Gdyby bowiem była sama liczbą wymierną, to od razu obalałaby zdanie (*), bo jest liczbą niewymierną.

Gdyby jednak okazała się liczbą niewymierną, to przykład obalający (*) uzyskalibyśmy, podnosząc ją do potęgi o wykładniku . Rzeczywiście, ponieważ

(ab)c = a(b·c),

więc

Udowodniliśmy zatem, że

istnieją liczby niewymierne, które podniesione do pewnej potęgi niewymiernej są wymierne.

Taki dowód, jaki został przedstawiony, nazywa się dowodem nieefektywnym. Nie wszyscy matematycy zgadzają się na takie dowody. Matematyka, w której takich dowodów się zakazuje, nazywana była intuicjonistyczną (co wydaje się mało trafną nazwą), a potem konstruktywistyczną (co zdecydowanie lepiej ją charakteryzuje). W takiej matematyce dowód, że coś istnieje, musi kończyć się wskazaniem tego czegoś. Taką właśnie matematykę preferuje computer science.

Jak jednak jest z liczbą ? Odpowiedź na to pytanie została uzyskana przy okazji rozwiązywania problemu ogólniejszego. Pytano o liczby przestępne, czyli takie, które nie są pierwiastkami żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych (te, które są pierwiastkami jakiegoś takiego wielomianu, to liczby algebraiczne). Pytanie o warunek wystarczający, by ab było liczbą przestępna gdy a i b są, algebraiczne, postawione zostano jeszcze w XVIII wieku. Odpowiedź na nie została uzyskana dopiero w latach trzydziestych naszego stulecia i brzmi ona tak:

jeśli liczby a i b są obie algebraiczne, liczba b zaś jest dodatkowo niewymierna, to liczba ab jest, przestępna.

Liczba przestępna jest, oczywiście, niewymierna - każda liczba wymierna (gdzie p i q są całkowite) jest pierwiastkiem wielomianu stopnia 1, a mianowicie . Liczba jest liczbą algebraiczną, jako pierwiastek wielomianu x2 - 2, a zatem tytułowa liczba jest liczbą niewymierną, bo przestępną.





Autor: Marek KORDOS
Komentarze + Dodaj komentarz
Zapraszamy do wyrażania opinii, redakcja portalu Interklasa.
 
Nasi partnerzy:
MEN SchoolNet eTwinning Związek Powiatów Polskich PCSS
Cisco OFEK Przyjazna Szkoła Fundacja Junior FIO CEO
Parafiada net PR Orange IMAX Cinema City WSP TWP
IMAGE PPI-ETC ArcaVir Master Solution Device


Projekt Polski Portal Edukacyjny Interkl@sa
powstał i był realizowany w latach 2000-2011 dzięki wsparciu
Polsko-Amerykańskiej Fundacji Wolności.

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej "Polityce Prywatności".


Pytania i uwagi: portal@interklasa.pl

Regulamin portalu /  Polityka prywatności /  Ochrona własności intelektualnej /  Zasady korzystania / 
Wyłączenie odpowiedzialności /  Biuro prasowe /  Zasady współpracy /  Redakcja /  Kontakt

Przejdź na stronę ucznia Przejdź na stronę nauczyciela Przejdź na stronę rodzica Certyfikat sieciaki.pl Przyjazna strona kidprotect.pl