sobota 24 sierpnia 2019 imieniny Bartłomieja i Jerzego 1948 - Urodził się Jean-Michel Jarre
Do końca roku pozostało: 0 dni
Matematyka
Interaktywna mapa szkół
Język polski Historia WOS Sztuka (plastyka i muzyka) Języki obce Religia i etyka
Matematyka Fizyka i astronomia Chemia Biologia Przyroda Geografia Technika Informatyka
Przedmioty zawodowe WF Ścieżki edukacyjne Wychowanie przedszkolne Nauczanie zintegrowane Więcej
Hipoteza, twierdzenie, dowód, kontrprzykład

Dowód Picka

Tytuł tej notatki to żart opisujący tok pracy matematyka. Oczywiście w rzeczywistości raczej rzadko się zdarza, aby matematyk jakąś hipotezę (a więc przypuszczenie) ogłaszał jako twierdzenie (a więc sąd prawdziwy), a potem dopiero znajdował jego dowód, by po opublikowaniu go znaleźć kontrprzykład (czyli przykład tę hipotezę obalający, a więc przeczący twierdzeniu). Zazwyczaj mając hipotezę, poszukujemy albo dowodu, albo kontrprzykładu. I w zasadzie zawsze (wcześniej lub później) znajduje się albo jedno, albo drugie, a bywa i tak, że dowodzimy, iż hipoteza rozstrzygnąć się nigdy nie da. Oto przykład, na którym można to sobie przećwiczyć.

Wielokąty na kracie

Rys. 1

Pewnego dnia pod koniec XIX wieku matematyk (austriacki, ale przez przeważającą część życia pracujący w czeskiej Pradze) Georg Pick wpadł na pomysł, że pole każdego wielokąta (narysowanego w układzie współrzędnych) o wierzchołkach w punktach kratowych (czyli o obu współrzędnych całkowitych) da się opisać za pomocą wyrażenia stopnia pierwszego względem liczby W punktów kratowych leżących wewnątrz tego wielokąta i względem liczby B punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta. A zatem pole P dane jest wzorem

(*) kW + lB + m,

dla pewnych stałych k, l, m.

Rys. 2 W=6, B=8, P=9

Gdyby tak rzeczywiście było, to stałe te można bez trudu znaleźć: trzy wielokąty przedstawione na rysunku 1 dają układ trzech równań

k·0 + l·4 + m = 1,
k·0 + l·6 + m = 2,
k·1 + l·8 + m = 4,

mający rozwiązanie k = 1, l = 1, m = -1. Zatem wzór miałby (ewentualnie) postać

P = W + 1B - 1.

To była hipoteza Picka. Mógł dla niej szukać dowodu, albo kontrprzykładu. Wybrał to pierwsze i udało mu się: w 1899 ukazała się praca Geometrisches zur Zahlenlehre, w której ten dowód się znajdował. Nie będę go tu przedstawiał, tylko zaproponuję wykonanie go samemu lub znalezienie go w jednym ze wskazanych obok miejsc (bądź też w dowolnym innym miejscu).





Autor: Marek KORDOS
Komentarze + Dodaj komentarz
Zapraszamy do wyrażania opinii, redakcja portalu Interklasa.
 
Nasi partnerzy:
MEN SchoolNet eTwinning Związek Powiatów Polskich PCSS
Cisco OFEK Przyjazna Szkoła Fundacja Junior FIO CEO
Parafiada net PR Orange IMAX Cinema City WSP TWP
IMAGE PPI-ETC ArcaVir Master Solution Device


Projekt Polski Portal Edukacyjny Interkl@sa
powstał i był realizowany w latach 2000-2011 dzięki wsparciu
Polsko-Amerykańskiej Fundacji Wolności.

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej "Polityce Prywatności".


Pytania i uwagi: portal@interklasa.pl

Regulamin portalu /  Polityka prywatności /  Ochrona własności intelektualnej /  Zasady korzystania / 
Wyłączenie odpowiedzialności /  Biuro prasowe /  Zasady współpracy /  Redakcja /  Kontakt

Przejdź na stronę ucznia Przejdź na stronę nauczyciela Przejdź na stronę rodzica Certyfikat sieciaki.pl Przyjazna strona kidprotect.pl