czwartek 24 października 2019 imieniny Marcina i Rafała 1989 - Zginął Jerzy Kukuczka, polski alpinista
Do końca roku pozostało: 0 dni
Matematyka
Interaktywna mapa szkół
Język polski Historia WOS Sztuka (plastyka i muzyka) Języki obce Religia i etyka
Matematyka Fizyka i astronomia Chemia Biologia Przyroda Geografia Technika Informatyka
Przedmioty zawodowe WF Ścieżki edukacyjne Wychowanie przedszkolne Nauczanie zintegrowane Więcej
Liczby trójkątne

Liczby trójkątne

Rys. 1

Podstawowa zasada budowania stabilnej konstrukcji z klocków polega na tym, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej (jak na rys. 1). Ile klocków potrzeba, by zbudować taką stabilną ścianę stojącą na dwóch klockach? Niewiele. Dwa klocki w podstawie, jeszcze jeden na nich i to wszystko. Razem trzy. A jeśli zaczniemy od trzech? Trzy, na nich dwa, a na nich jeszcze jeden, razem sześć. Widać, że w trakcie obliczenia możemy wykorzystać znany nam już wynik poprzednich rachunków: okazało się, że po ułożeniu podstawy mamy na niej postawić ściankę o podstawie krótszej o jeden klocek. Nietrudno zauważyć, że tak będzie zawsze. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Wiedząc, ile klocków potrzeba dla (n – 1)-klockowej podstawy, łatwo możemy obliczyć liczbę klocków potrzebnych dla ścianki o podstawie złożonej z n klocków.

Rys. 2

Oznaczmy przez tn ową liczbę dla ścianki o podstawie n. Oczywiście t1 = 1, a
tn = t n – 1 + n dla n > 1 (możemy się jeszcze dodatkowo umówić, że t0 = 0, bo przecież do ścianki o podstawie 0 potrzeba 0 klocków). Tak więc t2 = 1 + 2 = 3,
t3 = 1 + 2 + 3 = 6, t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (rys. 2) i tak dalej. Można się domyślać, że tn jest zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0) - i rzeczywiście tak jest. Czytelnik znający indukcję może ją wykorzystać do wykazania, że dla każdej liczby naturalnej

(podobno ten wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki).

 

Pobawmy się chwilę takimi liczbami, zwanymi liczbami trójkątnymi ze względu na kształt ścianki z klocków. Oczywiście, nie każda liczba naturalna jest trójkątna (np. 4 i 5 nie są), ale czy można każdą liczbę naturalną wyrazić za ich pomocą? Też pytanie: przecież widać, że

n + 1 = tn+1 - t n (i oczywiście, 0 = t0).

Różnica dwóch sąsiednich liczb trójkątnych jest więc wyjątkowo prosta. Z sumą może być gorzej, ale spróbujmy. Wiemy już, że

.

Rys. 3


Liczymy szybko (np. wyciągając (n + 1)/2 przed nawias) i okazuje się, że tn+1 + tn to po prostu (n + 1)2. Układa nam się całkiem niezła arytmetyka liczb trójkątnych, więc idźmy dalej. Z naszych rachunków wynika natychmiast, że (n + 1)3 to po prostu (tn+1 + tn) · (tn+1 - tn), czyli t 2n+1 - t 2n. Bardzo sympatycznie. Czy można to wykorzystać w „normalnej" matematyce? Można. Wiemy już, czemu równa się suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. A czemu równa się suma ich trzecich potęg? Zaprzęgnijmy do pracy nasze specjalne liczby:

 


13 + 23 + . . . + n3=

= (t12 - t02) + t22 - t12) + . . . + (t2n-1 - t2n-2) + (tn2 - t2n-1).

Widać, że prawie wszystkie liczby trójkątne po prawej stronie zredukuje się i zostanie tylko
t2n - t20. Ale t20 = 0, więc ostatecznie nasza suma jest równa t2n, czyli

.

Gdyby ktoś Wam zaproponował kiedyś dowód indukcyjny wzoru na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych, zapytajcie go, czy zna liczby trójkątne. A jeśli chcecie dowiedzieć się o nich paru ciekawostek, zajrzyjcie do książki Śladami Pitagorasa Szczepana Jeleńskiego, która już wiele pokoleń młodych ludzi wprowadziła do matematyki.





Autor: Wiktor BARTOL
Komentarze + Dodaj komentarz
  • nie, iza (odpowiedzi: 0)
  • fajne..............
  • trudne, azara (odpowiedzi: 0)
  • nauczyć się tego mam ,,,,
  • Liczby trójkątne, Aga M. (odpowiedzi: 1)
  • Znam to już od trzech lat :-)
  • g, Paula (odpowiedzi: 0)
  • be
  • błąd, goska (odpowiedzi: 1)
  • W artykule jest mały błąd Rys.2 nie przedstawia t3=1+2+3=6 tylko t4=1+2+3+4=10
  • re, anonim (odpowiedzi: 0)
  • fajne nawet fajne
 
Nasi partnerzy:
MEN SchoolNet eTwinning Związek Powiatów Polskich PCSS
Cisco OFEK Przyjazna Szkoła Fundacja Junior FIO CEO
Parafiada net PR Orange IMAX Cinema City WSP TWP
IMAGE PPI-ETC ArcaVir Master Solution Device


Projekt Polski Portal Edukacyjny Interkl@sa
powstał i był realizowany w latach 2000-2011 dzięki wsparciu
Polsko-Amerykańskiej Fundacji Wolności.

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej "Polityce Prywatności".


Pytania i uwagi: portal@interklasa.pl

Regulamin portalu /  Polityka prywatności /  Ochrona własności intelektualnej /  Zasady korzystania / 
Wyłączenie odpowiedzialności /  Biuro prasowe /  Zasady współpracy /  Redakcja /  Kontakt

Przejdź na stronę ucznia Przejdź na stronę nauczyciela Przejdź na stronę rodzica Certyfikat sieciaki.pl Przyjazna strona kidprotect.pl