(Materiał przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych).

Każda operacja na nierówności to tak naprawdę jedno z dwojga:

1. „zadziałanie" na obydwie strony nierówności pewną funkcją,
albo
2. opuszczenie po obydwu stronach nierówności znaku pewnej funkcji.

Powyższe zdanie dotyczy wszystkich operacji wykonywanych na nierównościach, także tych, które uczeń poznaje już w szkole podstawowej i gimnazjum, czyli takich jak: pomnożenie obydwu stron nierówności przez liczbę różną od zera, czy dodanie do obydwu stron nierówności dowolnego wyrażenia.

Przykłady:

Mamy równanie: (LewaStrona)3 < (PrawaStrona)3 Równanie ma postać:  f(LewaStrona) < f(PrawaStrona), gdzie f(x)=x3 Opuszczając znak tej funkcji otrzymujemy: LewaStrona < PrawaStrona

Mamy równanie: LewaStrona < PrawaStrona Działając na obydwie strony równania funkcją f(x)=5x otrzymujemy: f(LewaStrona) = f(PrawaStrona), tzn. 5·LewaStrona < 5·PrawaStrona Zadziałanie na obydwie strony równania podaną funkcją, to pomnożenie obydwu stron przez liczbę 5.

Niektóre z takich operacji wykonywanych na nierównościach są poprawne, tzn. po ich wykonaniu nie zmieni się zbiór rozwiązań nierówności (mówimy wtedy, że otrzymaliśmy nierówność równoważną nierówności wyjściowej). Niektóre jednak zmieniają zbiór rozwiazań - tych nie należy wykonywać.

Przykład użycia błędnej operacji

Nierówność wyjściowa: x<2 Zbiorem rozwiazań tej nierówności jest przedział (-∞,2). Bierzemy funkcję f(x)=x2 i wykonujemy operację f(x)<f(2), w efekcie czego otrzymamy: x2<4. Zbiorem rozwiazań tej ostatniej nierówności jest przedział (-2,2), czyli zbiór rozwiazań nierówności zmienił się.

Sztuka rozwiązywania nierówności polega więc na wykonywaniu na nich takich operacji, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, a jedynie zmieniają postać nierówności - najlepiej w kierunku jej maksymalnego uproszczenia.

Powstaje pytanie: "Które operacje są dopuszczalne, a które nie?". Odpowiedź na to pytanie jest ukryta w definicji funkcji monotonicznych:

„Funkcję f(x) nazywamy rosnącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x₁, x₂ zachodzi:
x₁< x₂ f(x₁)< f(x₂)",
„Funkcję f(x) nazywamy malejącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x₁, x₂ zachodzi:
x₁< x₂ f(x₁)> f(x₂)".

Jak widać w definicjach tych wyraźnie zapisano, że jeżeli funkcja jest rosnąca, to nierówności
f(x₁)< f(x₂) oraz x₁< x₂ są równoważne (czytaj: "mają taki sam zbiór rozwiązań").
Jeżeli natomiast funkcja jest malejąca, to nierówności f(x₁)> f(x₂) oraz x₁< x₂ są równoważne (czytaj: "mają taki sam zbiór rozwiązań").

Nie zmieniamy więc zbioru rozwiązań nierówności w dwóch przypadkach:

1. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją rosnącą (albo opuścimy po obu stronach znak takiej funkcji).
   
2. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją malejącą (albo opuścimy po obu stronach znak takiej funkcji), zmieniając jednocześnie znak nierówności na przeciwny.

W poniższej tabeli przedstawiono wykaz najcześciej używanych, poprawnych operacji na równaniach:

Operacja	Przykład	Uzasadnienie poprawności
Podniesienie obydwu stron nierówności do nieparzystej potęgi (albo opuszczenie po obydwu stronach takiej potęgi).	x3>23 x>2	Funkcje f(x)=x3, f(x)=x5, f(x)=x7,... są rosnące.
Podniesienie obydwu stron nierówności do parzystej potęgi (albo opuszczenie po obydwu stronach takiej potęgi), lecz jedynie w przypadku, gdy: - obydwie strony nierówności są nieujemne, albo - obydwie strony nierówności są niedodatnie (tu będzie zmiana znaku nierówności na przeciwny).	Obydwie strony nierówności są nieujemne, więc: (x2+3)2 2x2+1	Rosnące są funkcje: f(x)= xn, x<0,∞), gdy n jest parzyste.
	Obydwie strony nierówności są niedodatnie, więc:	Malejące są funkcje: f(x)= xn, x(-∞,0>, gdy n jest parzyste.
Pierwiastkowanie obydwu stron nierówności pierwiastkiem stopnia nieparzystego.	x5  -32 x  -2	n{3,5,7,9,...} są rosnące
Pierwiastkowanie obydwu stron nierówności pierwiastkiem stopnia parzystego, lecz tylko wtedy, gdy obydwie strony nierówności są nieujemne.	x4 > 16 |x|>2 x>2 lub x<-2	, n{2,4,6,8,...} są rosnące.
Logarytmowanie obydwu stron nierówności (lub opuszczenie logarytmów po obydwu stronach), gdy obydwie strony nierówności są dodatnie.	log3(x-2)< log38 Dziedzina równania: x>2 Opuszczamy logarytmy: x-2<8	Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie większej od 1 są rosnace. Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie z przedziału (0,1) są malejące.
Opuszczenie znaku funkcji wykładniczej lub użycie tej funkcji.	(0,5)4x-2 > (0,5)3 4x-2< 3	Wszystkie funkcje wykładnicze o podstawie większej od 1 są rosnące. Wszystkie funkcje wykładnicze o podstawie z przedziału (0,1) są malejące.

Parę przykładów błędnych operacji na nierównościach:

Operacja	Przykład	Uzasadnienie
Podniesienie obydwu stron nierówności do potęgi parzystej, bez badania znaku obydwu stron nierówności.	x2+1<(x-1)2 x2+1<x2-2x+1 2x<0 x<0 Wynik jest błędny, gdyż dla liczb x<0 lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa strona - ujemna. Liczba nieujemna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, czyli żadna z liczb x<0 nie jest rozwiązaniem nierówności.	Funkcja f(x)=x2 nie jest rosnąca.
Opuszczenie znaku funkcji trygonometrycznej.	sinx  sin x< sin = 1, a wiadomo, że sinx  1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Rozwiązanie jest błędne.	Funkcje trygonometryczne nie są monotoniczne.

Rozwiążemy teraz przykładowe zadanie z wykorzystaniem omówionych zasad rządzących rozwiązywaniem nierówności.



Wyznaczamy dziedzinę nierówności: 4-x  0 x  4.

Dla x(-∞,4) lewa strona nierówności jest nieujemna. Co natomiast dzieje się z prawą stroną?
x-2  0 x  2, czyli prawa strona nierówności jest nieujemna dla x<2,4>, natomiast dla x<2 jest ujemna. Wobec tego w dziedzinie nierówności obydwie strony nierówności nie są tego samego znaku (obie nieujemne lub obie niedodatnie), więc nie można nierówności podnieść obustronnie do kwadratu.

Wydaje się, że sytuacja jest bez wyjścia. Tak jest jednak tylko pozornie - wystarczy bowiem przeprowadzić nastepujące rozumowanie:

1. Dla x<2
   Lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa ujemna, czyli nierówność jest spełniona (liczba nieujemna jest wieksza od liczby ujemnej). Dlatego te wartości x są rozwiązaniami nierówności. Mamy już więc część zbioru rozwiazań: x(-∞,2) 
2. Dla x<2,4>
   Obie strony nierówności są nieujemne - można nierówność podnieść obustronnie do kwadratu:
   
   Pamiętamy jednak, że te obliczenia dotyczą tylko liczb z przedziału <2,4>
   4-x>x²-4x+4
   x²-3x< 0
   x(x-3)<0
   Rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest: x(0,3).
   Ponieważ rozpatrujemy przedział 2,4 , więc rozwiazaniem przypadku 2 jest: x<2, 3)
   
   Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest zbiór: (-∞,2)  <2,3) = (-∞,3)
   
   Dla lepszej ilustracji tego zadania przedstawmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz y=x-2:
   
   
   
   
   
   Rozwiązując nierówność , szukamy odpowiedzi na pytanie dla jakich x wykres funkcji  leży nad wykresem funkcji y=x-2. Z wykresu odczytujemy, że dla x<3 - takie właśnie rozwiązanie nierówności otrzymaliśmy.