wtorek 22 października 2019 imieniny Halki i Przybysławy 1962 - Przemówienie prezydenta Kennedy’ego do narodu
Do końca roku pozostało: 0 dni
Matematyka
Interaktywna mapa szkół
Język polski Historia WOS Sztuka (plastyka i muzyka) Języki obce Religia i etyka
Matematyka Fizyka i astronomia Chemia Biologia Przyroda Geografia Technika Informatyka
Przedmioty zawodowe WF Ścieżki edukacyjne Wychowanie przedszkolne Nauczanie zintegrowane Więcej
Co można, a czego nie można zrobić z nierównością i dlaczego?

Co można, a czego nie można zrobić z nierównością i dlaczego?

(Materiał przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych).

Każda operacja na nierówności to tak naprawdę jedno z dwojga:

1. „zadziałanie" na obydwie strony nierówności pewną funkcją,
albo
2. opuszczenie po obydwu stronach nierówności znaku pewnej funkcji.

Powyższe zdanie dotyczy wszystkich operacji wykonywanych na nierównościach, także tych, które uczeń poznaje już w szkole podstawowej i gimnazjum, czyli takich jak: pomnożenie obydwu stron nierówności przez liczbę różną od zera, czy dodanie do obydwu stron nierówności dowolnego wyrażenia.

Przykłady:

Mamy równanie: (LewaStrona)3 < (PrawaStrona)3
Równanie ma postać:  f(LewaStrona) < f(PrawaStrona), gdzie f(x)=x3
Opuszczając znak tej funkcji otrzymujemy: LewaStrona < PrawaStrona

Mamy równanie: LewaStrona < PrawaStrona
Działając na obydwie strony równania funkcją f(x)=5x otrzymujemy:
f(LewaStrona) = f(PrawaStrona), tzn. 5·LewaStrona < 5·PrawaStrona
Zadziałanie na obydwie strony równania podaną funkcją, to pomnożenie obydwu stron przez liczbę 5.

Niektóre z takich operacji wykonywanych na nierównościach są poprawne, tzn. po ich wykonaniu nie zmieni się zbiór rozwiązań nierówności (mówimy wtedy, że otrzymaliśmy nierówność równoważną nierówności wyjściowej). Niektóre jednak zmieniają zbiór rozwiazań - tych nie należy wykonywać.

Przykład użycia błędnej operacji

Nierówność wyjściowa: x<2
Zbiorem rozwiazań tej nierówności jest przedział (-∞,2).
Bierzemy funkcję f(x)=x2 i wykonujemy operację f(x)<f(2),
w efekcie czego otrzymamy: x2<4.
Zbiorem rozwiazań tej ostatniej nierówności jest przedział (-2,2), czyli zbiór rozwiazań nierówności zmienił się.

Sztuka rozwiązywania nierówności polega więc na wykonywaniu na nich takich operacji, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, a jedynie zmieniają postać nierówności - najlepiej w kierunku jej maksymalnego uproszczenia.

Powstaje pytanie: "Które operacje są dopuszczalne, a które nie?". Odpowiedź na to pytanie jest ukryta w definicji funkcji monotonicznych:

„Funkcję f(x) nazywamy rosnącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x1, x2 zachodzi:
x1< x2 f(x1)< f(x2)",
„Funkcję f(x) nazywamy malejącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x1, x2 zachodzi:
x1< x2 f(x1)> f(x2)".

Jak widać w definicjach tych wyraźnie zapisano, że jeżeli funkcja jest rosnąca, to nierówności
f(x
1)< f(x2) oraz x1< x2 są równoważne (czytaj: "mają taki sam zbiór rozwiązań").
Jeżeli natomiast funkcja jest malejąca, to nierówności f(x1)> f(x2) oraz x1< x2 są równoważne (czytaj: "mają taki sam zbiór rozwiązań").

Nie zmieniamy więc zbioru rozwiązań nierówności w dwóch przypadkach:

  1. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją rosnącą (albo opuścimy po obu stronach znak takiej funkcji).
  2. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją malejącą (albo opuścimy po obu stronach znak takiej funkcji), zmieniając jednocześnie znak nierówności na przeciwny.

W poniższej tabeli przedstawiono wykaz najcześciej używanych, poprawnych operacji na równaniach:

Operacja

Przykład

Uzasadnienie poprawności

Podniesienie obydwu stron nierówności do nieparzystej potęgi (albo opuszczenie po obydwu stronach takiej potęgi).

x3>23
x>2

Funkcje f(x)=x3, f(x)=x5,
f(x)=x7,... są rosnące.

Podniesienie obydwu stron nierówności do parzystej potęgi (albo opuszczenie po obydwu stronach takiej potęgi),
lecz jedynie w przypadku, gdy:
- obydwie strony nierówności są nieujemne,
albo
- obydwie strony nierówności są niedodatnie (tu będzie zmiana znaku nierówności na przeciwny).


Obydwie strony nierówności są nieujemne, więc:
(x2+3)2 2x2+1

Rosnące są funkcje:
f(x)= xn, x<0,∞),
gdy n jest parzyste.


Obydwie strony nierówności są niedodatnie, więc:

Malejące są funkcje:
f(x)= xn, x(-∞,0>,
gdy n jest parzyste.

Pierwiastkowanie obydwu stron nierówności pierwiastkiem stopnia nieparzystego.

x5  -32

x  -2


n{3,5,7,9,...}
są rosnące

Pierwiastkowanie obydwu stron nierówności pierwiastkiem stopnia parzystego, lecz tylko wtedy, gdy obydwie strony nierówności są nieujemne.

x4 > 16

|x|>2
x>2 lub x<-2

,
n{2,4,6,8,...}
są rosnące.

Logarytmowanie obydwu stron nierówności (lub opuszczenie logarytmów po obydwu stronach), gdy obydwie strony nierówności są dodatnie.

log3(x-2)< log38
Dziedzina równania: x>2
Opuszczamy logarytmy:
x-2<8

Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie większej od 1 są rosnace.
Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie z przedziału (0,1) są malejące.

Opuszczenie znaku funkcji wykładniczej lub użycie tej funkcji.

(0,5)4x-2 > (0,5)3
4x-2< 3

Wszystkie funkcje wykładnicze o podstawie większej od 1 są rosnące.
Wszystkie funkcje wykładnicze o podstawie z przedziału (0,1) są malejące.

Parę przykładów błędnych operacji na nierównościach:

Operacja

Przykład

Uzasadnienie

Podniesienie obydwu stron nierówności do potęgi parzystej, bez badania znaku obydwu stron nierówności.


x2+1<(x-1)2
x2+1<x2-2x+1
2x<0
x<0
Wynik jest błędny, gdyż dla liczb x<0 lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa strona - ujemna.

Liczba nieujemna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, czyli żadna z liczb x<0 nie jest rozwiązaniem nierówności.

Funkcja f(x)=x2 nie jest rosnąca.

 

Opuszczenie znaku funkcji trygonometrycznej.

sinx  sin
x<
sin = 1, a wiadomo, że
sinx  1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Rozwiązanie jest błędne.

Funkcje trygonometryczne nie są monotoniczne.

Rozwiążemy teraz przykładowe zadanie z wykorzystaniem omówionych zasad rządzących rozwiązywaniem nierówności.



Wyznaczamy dziedzinę nierówności: 4-x  0 x  4.

Dla x(-∞,4) lewa strona nierówności jest nieujemna. Co natomiast dzieje się z prawą stroną?
x-2  0 x  2, czyli prawa strona nierówności jest nieujemna dla x<2,4>, natomiast dla x<2 jest ujemna. Wobec tego w dziedzinie nierówności obydwie strony nierówności nie są tego samego znaku (obie nieujemne lub obie niedodatnie), więc nie można nierówności podnieść obustronnie do kwadratu.

Wydaje się, że sytuacja jest bez wyjścia. Tak jest jednak tylko pozornie - wystarczy bowiem przeprowadzić nastepujące rozumowanie:

  1. Dla x<2
    Lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa ujemna, czyli nierówność jest spełniona (liczba nieujemna jest wieksza od liczby ujemnej). Dlatego te wartości x są rozwiązaniami nierówności. Mamy już więc część zbioru rozwiazań: x(-∞,2) 
  2. Dla x<2,4>
    Obie strony nierówności są nieujemne - można nierówność podnieść obustronnie do kwadratu:

    Pamiętamy jednak, że te obliczenia dotyczą tylko liczb z przedziału <2,4>
    4-x>x2-4x+4
    x2-3x< 0
    x(x-3)<0
    Rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest: x(0,3).
    Ponieważ rozpatrujemy przedział 2,4 , więc rozwiazaniem przypadku 2 jest: x<2, 3)

    Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest zbiór: (-∞,2)  <2,3) = (-∞,3)

    Dla lepszej ilustracji tego zadania przedstawmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz y=x-2:



    Rozwiązując nierówność , szukamy odpowiedzi na pytanie dla jakich x wykres funkcji  leży nad wykresem funkcji y=x-2. Z wykresu odczytujemy, że dla x<3 - takie właśnie rozwiązanie nierówności otrzymaliśmy.




Autor: Tadeusz Socha
Komentarze + Dodaj komentarz

nie
Paul
kwiecień 21, 2012, 20:08
Szczerze mówiąc to mimo, że od dawna już o tym wszystkim wiedziałem to ciężko było mi przebrnąć przez język autora. Nie żebym nie umiał logiki matematycznej ale po co wprowadzać niepotrzebny zamęt "Działając na obydwie strony równania funkcją f(x)=5x otrzymujemy" - to tak jak pisać " po pomnożeniu (wykonaniu działania ilorazu) obu stron równania zawierającego niewiadome a, b stopnia x i y przez liczbę całkowitą, wymierną 5 otrzymujemy obustronny iloraz przez liczbę będącą wcześniejszym ilorazem ... bla bla itp. Myślę, że po prostu tylko osoby, które już dobrze znają matmę spokojnie to ogarną a ci, którym to by się naprawdę przydało nie są w stanie tego zrozumieć. Czyli w skrócie taki art dla nikogo...
 
Nasi partnerzy:
MEN SchoolNet eTwinning Związek Powiatów Polskich PCSS
Cisco OFEK Przyjazna Szkoła Fundacja Junior FIO CEO
Parafiada net PR Orange IMAX Cinema City WSP TWP
IMAGE PPI-ETC ArcaVir Master Solution Device


Projekt Polski Portal Edukacyjny Interkl@sa
powstał i był realizowany w latach 2000-2011 dzięki wsparciu
Polsko-Amerykańskiej Fundacji Wolności.

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej "Polityce Prywatności".


Pytania i uwagi: portal@interklasa.pl

Regulamin portalu /  Polityka prywatności /  Ochrona własności intelektualnej /  Zasady korzystania / 
Wyłączenie odpowiedzialności /  Biuro prasowe /  Zasady współpracy /  Redakcja /  Kontakt

Przejdź na stronę ucznia Przejdź na stronę nauczyciela Przejdź na stronę rodzica Certyfikat sieciaki.pl Przyjazna strona kidprotect.pl